領域 (解析学)

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数学解析学の分野における領域(りょういき、: domain)とは、有限次元ベクトル空間の開部分集合連結なもののことを言う。定義域(domain of definition)という語が、例えば偏微分方程式ソボレフ空間において、しばしば領域と同様の意味で用いられるが、厳密にはそれらの意味は異なる。

領域の境界の滑らかさについては、その領域上で定義される関数の様々な性質を保つために、様々な要求がなされる。例えば、積分定理(グリーンの定理ストークスの定理)やソボレフ空間の性質、あるいは境界上の測度トレース英語版の空間(境界上で定義される滑らかな関数の空間)を定義するために、そのような要求がなされる。広く扱われている領域としては、連続な境界を備える領域、リプシッツ領域英語版C1の境界を備える領域などがある。

有界領域(bounded domain)とは、有界集合であるような領域のことを言う。外部(exterior)あるいは外部領域(external domain)とは、有界領域の補集合のことを言う。

複素解析の分野における複素領域(complex domain)あるいは単純に領域(domain)とは、複素平面 ℂ 内の任意の連結開部分集合のことを言う。例えば、複素平面全体も複素領域であり、開単位円開上半平面なども複素領域である。正則関数に対しては、しばしば、複素領域が定義域の役割を担うことがある。

多複素変数英語版の研究においては、ℂn の任意の連結開部分集合を含むように、定義域の拡張が行われる。

関連項目[編集]