リウヴィルの定理 (解析学)

リウヴィルの定理（Liouville's theorem）は、有界な整関数は定数関数に限るということを主張する複素解析の定理である。ジョゼフ・リウヴィルにちなむ。整関数とは複素平面全体において正則（複素微分可能）な関数をいう。有界であるとは

$\exists{M\in\mathbb{R}},\ \forall{z\in\mathbb{C}},\ |f(z)|\le{M}$

であることをいう。

証明

コーシーの積分公式により

$\frac{df(z)}{dz}=\frac{1}{2{\pi}i}\oint_{C_r}\frac{f(t)}{(t-z)^2}dt$

である。ただし、C_r は z を中心とする半径 r の円とする。仮定により |f(z)| ≤ M であるから|dt| = rdθより

$\left|\frac{df(z)}{dz}\right| = \left|\frac{1}{2{\pi}i}\oint_{C_r}\frac{f(t)}{(t-z)^2}dt\right| \le \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\left|f(t)\right|}{r^2}\,r d\theta \le \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{M}{r}d\theta = \frac{M}{r}$

であるが、仮定により f(z) は全平面で正則であるから任意の z について r を限りなく大きくすること可能である。よって

$\forall{z\in\mathbb{C}},\ \left|\frac{df(z)}{dz}\right|\le\lim_{r\to\infty}\frac{M}{r}=0$

である。したがって f(z) は定数である。

適用例

以下の記事にリウヴィルの定理を適用する例がある。

• ヤコビの三重積
• ヤコビの虚数変換式
• 三角関数の部分分数展開
• 代数学の基本定理