楕円

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楕円（だえん、ellipse）とは、平面上のある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合から作られる曲線である。基準となる2定点を焦点という。

2つの焦点が近いほど楕円は円に近づき、2つの焦点が一致したとき楕円はその点を中心とした円になる。そのため円は楕円の特殊な場合であると考えることもできる。

楕円の内部に2焦点を通る直線を引くとき、これを長軸という。長軸の長さを長径という。長軸と楕円との交点では2焦点からの距離の差が最大となる。また、長軸の垂直二等分線を楕円の内部に引くとき、この線分を短軸という。短軸の長さを短径という。

楕円の長辺と短辺

[編集] 楕円の方程式

2次元直交座標系で、原点 O が長軸と短軸の交点となる楕円は代数的に次のように書ける。これを標準形という。

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

a > b > 0 のとき、2a は長軸の長さ（長径）、2b は短軸の長さ（短径）となる。また、焦点はx 軸上にあり、その座標は $\left( \sqrt{a^2 - b^2} , 0\right) , \left( -\sqrt{a^2 - b^2} , 0\right)$ となる。

b > a > 0 のときは逆に、2b が長軸の長さ（長径）、2a が短軸の長さ（短径）となる。したがって、xy 平面上にグラフを書くと縦長の楕円となる。また、焦点は y 軸上にあり、その座標は $\left(0, \sqrt{b^2 - a^2} \right) , \left(0, -\sqrt{b^2 - a^2} \right)$ となる。

同じ楕円は、t を媒介変数とする媒介変数表示では、次のように表現できる。

$x = a\,\cos t$

$y = b\,\sin t$

$0 \leq t < 2\pi$

楕円の形状は離心率 e で表現される。

$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$

楕円の面積 S は次のように表現できる。

S = π a b

楕円の周の長さ l は a > b のとき、楕円積分を用いて次のように表現できる。

$\begin{align}l &= 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t}dt \\ &= 4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \cos^2 t}dt ,\qquad \left(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \right)\\ & = 2\pi a \left[1-\sum_{n=1}^\infty \frac{k^{2n}}{2n-1} \left\{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right\}^2\right] \end{align}$