クレローの方程式

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クレローの方程式(クレローのほうていしき、Clairaut's equation)とは、次の形の微分方程式である。

y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right)

この方程式の名はアレクシス・クレローにちなんだものである。また、次の一階偏微分方程式もクレローの方程式と呼ばれる。

\displaystyle u=xu_x+yu_y+f(u_x,u_y)

解法[編集]

常微分方程式[編集]

常微分方程式

y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right)

を解くには、まず両辺を x について微分する。

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2 y}{dx^2}+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d^2 y}{dx^2}

整理して

0=\left(x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\right)\frac{d^2 y}{dx^2}

を得る。これより、

0=\frac{d^2 y}{dx^2}

であるか、または

0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)

である。前者の場合、ある定数 C があって C = dy/dx となる。これを元の方程式に代入すると、

y(x)=Cx+f(C)\,

という関数が得られる。これをクレローの方程式の一般解という。

後者の場合、

0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)

という式からはただひとつの解 y(x) しか得られず、これを特異解と呼ぶ。特異解のグラフは一般解のグラフの包絡線になっている。

偏微分方程式[編集]

クレローの一階偏微分方程式

u = xux + yuy + f(ux,uy)

は、シャルピの解法により解ける。

p = uxq = uyF(x,y,u,p,q) = u - xp - yq - f(p,q)

とおけば、同方程式は F(x,y,u,ux,uy)=0 である。

Fx = -pFy = - qFu = 1
Fp = -x - fpFq = -y - fq

だから、補助方程式は、


\frac {dx} {x + f_p} = \frac {dy} {y + f_q} = \frac {du} {xp + pf_p + yq + qf_q} = \frac {dp} {0} = \frac {dq} {0}

である。 後二式は dp = dq = 0 の意味だから、ux = auy = b とおくと、

u = ax + by + f(a,b)  … (1)

である。 よって、ab を積分定数と解すれば、(1) が完全解となる。

完全解の平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は特異解を与える。 実際、(1) を ab で偏微分した関係式

x + fa(a,b) = y + fb(a,b) = 0

と (1) から ab を消去できる場合には、解が得られる。

また、任意関数 g により、完全解の平面族の積分定数に関係 b = g(a) を与えたとき、その平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は一般解を与える。 実際、(1) に b = g(a) を代入した式を a で微分した関係式

x + g’(a)y + fa(a,g(a)) + fb(a,g(a))g’(a) = 0

と (1) から a を消去できる場合には、解が得られる。

外部リンク[編集]