積分方程式

積分方程式（せきぶんほうていしき、Integral equation）は、数学において、未知の関数が積分の中に現れるような方程式である。積分方程式と微分方程式には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある。

積分方程式は次の3種類の分類方法がある。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。

1. 積分の上限および下限が固定の場合、フレドホルム積分方程式と呼ばれる。また、積分の上限・下限の片方が変数の場合、ヴォルテラ積分方程式と呼ばれる。
2. 未知の関数が積分の中にのみ現れる場合、第一種積分方程式と呼ばれ、未知の関数が積分の中にも外にも現れる場合、第二種積分方程式と呼ばれる。
3. 既知の関数 f （下記参照）が恒等的に 0 の場合、同次積分方程式と呼ばれ、f が 0 でない場合、非同次積分方程式と呼ばれる。

4種類の積分方程式（同次・非同次方程式をまとめた）の例として以下のように書ける。 ただし φ は未知の関数、f は既知の関数、K は既知の2変数関数で積分核と呼ばれる。λ は未知の係数で、線型代数学における固有値と同じ役割をする。

第一種フレドホルム積分方程式：

$f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt$

第二種フレドホルム積分方程式：

$\phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt$

第一種ヴォルテラ積分方程式：

$f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt$

第二種ヴォルテラ積分方程式：

$\phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt$

積分方程式は多くの応用において重要である。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や振動などが挙げられる。振動問題は微分方程式によって解かれることもある。

固有値問題の一般化としての積分方程式

ある種の斉次線型積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、$\mathbf{M}$ を行列、$\mathbf{v}$ を固有ベクトル、$\lambda$ を対応する固有値として、

$\sum _j M_{i,j} v_j = \lambda v_i^{}$

と書くことができる。

添字 $i$、$j$ を連続変数 $x$、$y$ で置き換えて連続極限を取ると、$j$ に関する総和は $y$ に関する積分、行列 $M_{i,j}$ とベクトル $v_i$ はそれぞれ積分核 $K(x,y)$ と固有関数 $\varphi(y)$ に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式

$\int \mathrm{d}y\, K(x,y)\varphi(y) = \lambda \varphi(x)$

が得られる。

一般に、$K(x,y)$ は超関数であってもよい。超関数 $K$ が $x=y$ でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。

参考文献

• 日本数学会 『岩波数学辞典（第3版）』 岩波書店、1985年。ISBN 4000800167
• 吉田耕作、積分方程式論、岩波全書、1950。ISBN 4000212834

関連項目

• ヒルベルト空間