正弦波

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正弦波(赤色)と余弦波(青色)の関数グラフ

正弦波(せいげんは、sine wavesinusoidal wave)は、正弦関数として観測可能な周期的変化を示す波動のことである。その波形は正弦曲線(せいげんきょくせん、sine curve)もしくはシヌソイド (Sinusoid) と呼ばれ、数学信号処理電気工学およびその他の分野において重要な働きをする。

基本形・一般形[編集]

バネによって吊り下げられた重りの振動は、平衡点まわりでは正弦波として近似できる。

固定された観測位置における正弦波は次のような関数として記述することができる(基本形):

y = A\cdot \sin(\omega t - \varphi)

ここで、t時刻A振幅(波の中心からの最大偏差)、ω は角周波数、−φ は初期位相t = 0 における位相)という。

−φ は位相シフトとも関係がある。例えば、初期位相 −φが負の値であれば、波形全体が未来の時間へシフトされる、すなわち波の到達が遅れる。シフトされる時間は、φ / ω である。

基本形に、波動の発生源からの距離 x波数 k 、直流成分(振幅の中心となる値) D などを含めて

  y = A\cdot \sin(kx - \omega t - \varphi) + D

という関数の形で波形を記述できるものを正弦波と総称する(一般形)。波数は角周波数と以下のような関係にある。

 k = { \omega \over c } = { 2 \pi f \over c } = { 2 \pi \over \lambda }

ここで、λ は波長f周波数c位相速度である。

この方程式は1次元の正弦波となるため、上記の一般化された方程式では、時刻 t における位置 x での波の振幅が導かれる。これは例えば、ワイヤーに沿った波の値と考えることが出来る[1]

コサイン波形(余弦波)もシヌソイドと言われる。これは、正弦波が後方にシフトされたもので波形が同一だからである。

\cos(x) = \sin\left({x} + \frac{\pi}{2}\right)

なお、正弦関数は波動方程式ヘルムホルツ方程式を満たす最も基本的な関数である。

自然現象における正弦波[編集]

上記の通り、正弦波は単一の周波数成分のみを持つ波動であり、厳密な意味では自然界には存在しない。しかし、一般の物理学電磁気学音響学などでは、観測されるべき波動(すなわち上記の基本形・一般形で表される波動)の振幅が、付随される雑音に比べて十分に大きい場合、これを正弦波と見なすことが多い。 この広義の意味での正弦波は自然界でも海の波、音波、光波などで発生する。また、日々の平均気温を年間を通してプロットした際などにも荒いシヌソイドパターンが現れる。

商用電源など発電機から得られる交流電圧の波形は一般に正弦波形をとる。

フーリエ級数・フーリエ解析[編集]

1822年、フランス人数学者のジョゼフ・フーリエは、周期的な波動をさまざまな(基本周波数の整数倍の)周波数の正弦波の重ね合わせとして表す方法を発見した。この方法はフーリエ級数またはフーリエ級数展開と呼ばれ、信号処理におけるもっとも基礎的な手法の一つである。

また、単一のパルス波や人の声による不規則な音波といった周期的でない波形も、連続的に変化する異なった周波数の波を重ね合わせて表すことができる。このような一般的で複雑な波を様々な周波数の正弦波に分解して解析する手法はフーリエ変換と呼ばれている。

応用[編集]

音波としての正弦波[編集]

人のは単一の正弦波を認識することが出来る。なぜなら、そのような波形を持つ音は人には純粋な音高の音としてはっきりと聞こえるからである。純粋な正弦波に近い音には、口笛や、ぬれた指先でクリスタルグラスの縁をなぞって振動させる際に発生する音、そして音叉の音がある。このように正弦波として聞こえる音は純音と呼ばれる。

音波が2つ以上の正弦波によって構成される場合、その中で最も周波数が低い正弦波を基準として、その他の正弦波の周波数が基準となる正弦波の周波数の整数倍で構成されるときは、その音波の波形は周期的な交流波形となる。この音は、人の耳には楽音または単音として認識される。 それ以外の2つ以上の正弦波によって構成される音はノイズか和音、ないしはうなりとして聞こえる。

1kHzの正弦波5秒

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音楽への応用[編集]

1950年代、正弦波音がオルガンの音に似ているということも好都合であり、電子音楽の黎明期に愛用された。この時流に沿う形で、フランス作曲家アンリ・プッスールは「正弦波曲線が、楽曲の理想的な形式」と定義して話題となった[要出典]。この理論を杓子定規に応用した作品に、篠原眞の「タンダンス」がある。

工学への応用[編集]

脚注[編集]

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  1. ^ 厳密には信号源または震動源からの距離が大きくなるにしたがって振幅Aが小さくなる

参考文献[編集]

  • 『電気音響工学』実吉純一、コロナ社、1993年33版、ISBN 4-339-00171-6
  • 『ディジタル信号処理』辻井重男・鎌田一雄、1996年初版11刷、ISBN 4-7856-2006-4

関連項目[編集]