実解析

数学において実解析（じつかいせき、英: Real analysis）あるいは実変数函数論（じつへんすうかんすうろん、英: theory of functions of a real variable）は、実数および実函数（実変数実数値の写像）について研究する解析学の一分科である。実数の公理的な取り扱い、実数列の収斂性や極限あるいは、実函数の連続性や滑らかさに関する理論をはじめ、実一変数あるいは実多変数の実数値あるいは実ベクトル値の函数に関する初等的な微分積分学やベクトル解析、調和函数論、ルベーグ積分や函数解析学などの理論の一部を含む。

実解析の概念

「実解析（Real Analysis）」という名称は実数関数における解析学、という意味であり、いかにも複素数関数などは除外して実数関数のみを対象としているようにも思える。しかし、複素解析学も実解析学の理論の上に成り立っており、実解析は複素関数も扱うばかりか、複素解析が実解析の一分野と見なされることもある。歴史的には実解析学は、たしかに実数関数についての研究によって生まれたものではあるが、その体系や理論は一般化・抽象化され、その対象はあらゆる関数や数学的概念にまで適用・拡大されるようになった。実解析という名称は、今となっては誤解を生みやすい名称と言えるかもしれない。実際、実解析の教科書として定評のあるFolland著「Real Analysis」の序文の最初の行には、「“実解析”という名称は、かなり時代遅れのものである」と書かれてあるくらいである。

実数論

実数の全体が成す集合は、自然数や整数や有理数などのそれが持っているような四則演算や大小関係を備えている。これらの集合がもつ共通の、あるいは異なる性質を考えるとき、実数全体の集合がどのような点でそれ以外の数の集合と峻別されるか、ということが公理的な実数論における中心的な内容である。

関連項目

• 複素解析
• 調和解析
• 函数解析学

参考文献

• 猪狩惺 『実解析入門』 岩波書店、1996年。ISBN 978-4000054447。
• Walter Rudin  (1976). Principles of Mathematical Analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0070542358. 

関連図書

• Nicolas Bourbaki 『ブルバキ数学原論 実一変数関数（基礎理論）1』 小島順, 村田全, 加地紀臣男訳、東京図書、1986年。ISBN 978-4489002014。
• Detlef Laugwitz 『リーマン: 人と業績』 山本敦之訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、1998年。ISBN 978-4431707622。

外部リンク

• real function - PlanetMath.（英語）
• Weisstein, Eric W., "real analysis" - MathWorld.（英語）