数列

数学において数列（すうれつ、英: numerical sequence）とは、数が列になったもの (sequence of numbers) を言う。

概要

ある数はそれ単独で興味深い性質や深い意味を持っているかもしれない。単独ではそれほど面白くはない数たちもまとめて考えると興味深い性質を持つかもしれない。数列を考える意識は後者に属する。数列とは例えば正の奇数を小さい順に並べた

1, 3, 5, 7, ...

のような数の“並び”である。並べる数に制限を加えて、たとえば自然数のみを並べるならば、これを自然数列と略称する。整数、有理数、実数などのほかの数体系を用いる場合も同様の略称を用いる。各々の数の“置かれるべき場所”は数列の項（こう、term）と呼ばれる。数の並びが数列と呼ばれるためには、数列の各項を“順番に並べる”こと、つまりそれぞれの数が何番目の項に配置されているのかを紛れも無く指し示す番号付けができなければならない。したがって、“最も簡単”な数列は序列を司る自然数を小さい順に並べた数列

1, 2, 3, 4, ...

ということになる。そして番号付けができるということは、数列には必ず“始まり”があるということである。数列の最初の項をその数列の初項（しょこう、first term）という。対して、必ずしも数列に終わりがあるとは限らない。ある数列に、もし“終わり”があるなら、その最後の項を数列の末項（まっこう、last term）と呼び、末項を持つ数列を有限数列（ゆうげんすうれつ）に分類する。有限でない数列は無限数列（むげんすうれつ）に排される。ここに、修飾辞「有限」・「無限」は正に数列が持つ項の数の有限性・無限性による形容である。通常は初項に番号 1 を附して、順に自然数の番号を振る。然るに、項数が有限な n 個であるならば、その末項には丁度 n が附されているはずである。このような番号の振り方は必ずしも必然的なことではない。実際、如何なる自然数列も可附番なのであるから、その自然数列の項の順番にしたがって、別の数列に番号を附しても特段の不都合があるというわけではない。しかしながら、やはり判りやすい番号附けであるにこしたことはないので、通常は自然数の番号を小さい順に振っていくのである。それでも、場合によっては初項に 1 でない自然数や負の整数を割り振る方が便利であることがあって、それにあわせて番号をずらして附けるようなことも行われる。

単に数字が一列に並んでいればそれは数列なのであるが、学問的な興味からは項のならびに規則性のあるものが主に取り扱われる。代表的なものは、等差数列や等比数列あるいはフィボナッチ数列のように漸化式で定義される数列である。

定義

S を順序数、つまり S は自然数全体の成す順序集合 ω またはその n における切片 Σ_n = {0, 1, 2, ..., n} とするとき、S あるいは S と同等な集合上で定義された函数 a を附番された数の並びとして

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ...

のように記して数列と呼ぶ。通例、n の函数 a による像を a_n と書いて、n 番目の項に排されているものと考えるのである。また、順序対の記号を用いて (a_k)_{k=1,2,3,...,n,...} あるいは、伝統的に {a_k}_{k=1,2,3,...,n,...} （または単に {a_n}）とも表す。

ブレースで囲む記法は非順序組や多重集合と紛らわしいため、通常はパーレンで囲む。

各項を表すために小さく附されている n を添字 (index) という。添字が 1 からでなくてもよいことは既述のとおりであるが、その場合にも、特に n が自然数以外の値をとる場合でも、形式的に a_n は n 番目の項であるという。

添字となる自然数 n を任意に選んで、それに対応する項 a_n を取り出すとき、項 a_n を一般項 (general term) という。一般項は必ずしも n の明示的な式として定まっているわけではないし、一般にその必要も無いが、n を勝手に指定したときに対応する項 a_n が論理的に紛れなくきちんと定まることが言える必要がある。

初項と末項を持つ有限数列 (a_k)_{k=1,2,3,...,n}（n は項数）や初項は持つが末項の無い（片側）無限数列 (a_n)_n∈N のほかに、両側無限列 (a_n)_n∈Z を考えることもある。両側無限列には見かけ上初項も末項も存在しないが、実質的に二つの片側無限列の合成であり、n = 0 などを基準に番号の付け替えを行えば、一つの片側無限列に直すことができる。

数列 (a_n) の各項 a_n がそれ以前の項 (a₁, ..., a_n) を用いて帰納的に定められるならば、その帰納的関係式をその数列が満たす漸化式 (recurrence relation) と呼び、数列 (a_n) はその漸化式（と初期値）によって定められるという。

特殊な形の数列

等差数列

任意の自然数 n に対して、隣り合う二項 a_n と a_n+1 の差が一定のものを等差数列または算術数列という。その一定である二項間の差を公差という。

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...（初項 1、公差 1）

3, 5, 7, 9, 11, 13, ...（初項 3、公差 2）

など

等比数列

任意の自然数 n に対して、隣り合う二項 a_n と a_n+1 の比が一定のものを等比数列または幾何数列という。その任意の二項間で一定となる比を公比という。

1, 2, 4, 8, 16, 32, ... （初項 1、公比 2）

5, 15, 45, 135, 405, ... （初項 5、公比 3）

1, −1, 1, −1, 1, −1, ... （初項 1、公比 −1）

など

漸化式を持つ数列

最初の 2 項から始めて、

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

のように連続した 2 項の和を次の項とするフィボナッチ数列のように、漸化式が成り立つ数列。

母函数を持つ数列

ある種の級数を母函数とし、その係数の列として数列を定義することもある。ベルヌーイ数・オイラー数などはテイラー係数として定義されるものの例であり、母函数の微積分を通して計算したり、漸化式を取り出したりすることができる。フーリエ係数は理論的には函数の球函数による展開の一種から得られる数列だが、具体的な個々の係数は積分によって定められる。

漸化式

詳細は「漸化式」を参照

数列 (a_n) の各項 a_n がある定まった函数 f を用いて

a_n+1 = f(a₁, a₂, ..., a_n)

なるように（もちろん f の取りうる引数の数は一定であるから、右辺に現れる項はある一定の規則に従い落とされるものとして）帰納的に定められているとき、函数 f を数列 (a_n) の漸化式とよび、あるいは、数列 {a_n} は漸化式 f により定められているという。

漸化式を解くとは、漸化式で与えられている数列 (a_n) の一般項 a_n を n の明示的な式 (explicit formula) で表すことである。しかしたとえば、n の階乗 a_n = n! を漸化式 a_n = na_n−1, a₁ = 1 で定まる数列と思って、一般項を

$a_n = n(n-1)\cdots 2\cdot 1$

のような形で表すとき、これは確かに n を決めれば a_n が計算できる（ランダムさを含んでいない）という意味で明示的な式であるように思われるけれども、その計算は漸化式に従って順番に各項を決定するのと同じ手続きを辿ることになるため、こういった表式を明示的な式と考えるかどうかということについてはそれほど明らかな話ではない。

等差数列や等比数列は、その定義から極めて単純な漸化式をもつ。すなわち、

a_n+1 = a_n + d

（d は定数）という漸化式は等差数列の漸化式で、この定数 d が公差である。この漸化式は簡単に解けて、一般項は a_n = a₁ + (n − 1)d となる。同様に

a_n+1 = r · a_n

（r は定数）という漸化式は等比数列の漸化式であり、r が公比である。この漸化式を解けば a_n = rⁿ⁻¹ · a₁ なる一般項を得ることができる。これらは隣接二項間漸化式の最も単純なものである。

特定の形の漸化式が成立する場合など、いくつかの場合には、一般項 a_n は n の明示的な形の式で表される。

隣接二項間漸化式

数列 (a_n) が漸化式によって定められ、漸化式が一変数函数 f によって

a_n+1 = f(a_n)

と表されているとき、この漸化式は隣接二項間の漸化式であるという。特に、f が一次式

a_n+1 = p(n) · a_n + q(n)

（p, q は n の函数）となっているとき、線型であるという。定数係数線型隣接二項間漸化式、すなわち

a_n+1 = p · a_n + q

（p, q は n に関係しない定数）であるならば、これは次のようにして等差数列あるいは等比数列に帰着され、一般項が n の式として明示的に記述できる：

p = 1 のとき、漸化式は a_n+1 = a_n + q であるから、これは等差数列である。

p ≠ 1 のとき、漸化式 a_n+1 = p · a_n + q の特性方程式と呼ばれる方程式 x = px + q の根を α とすると、漸化式は

a_n+1 − α = p(a_n − α)

と変形できる。これは、一般項が b_n = a_n − α で定義される数列 {b_n} が公比 p である等比数列となることを表しているから b_n が n の式として得られる。a_n = b_n + α だから、これも n の式として書くことができる。

隣接三項間漸化式

数列 (a_n) が漸化式によって定められ、漸化式が二変数函数 f によって

a_n+2 = f(a_n+1, a_n)

と表されているとき、この漸化式は隣接三項間の漸化式であるという。特に、f が斉一次式

a_n+2 = p(n) · a_n+1 + q(n) · a_n

（p, q は n の函数）となっているとき、線型であるという。定数係数線型隣接三項間漸化式、すなわち

a_n+2 = p · a_n+1 + q · a_n

（p, q は n に関係しない定数）であるならば、特性方程式 x² = px + q の根を用いて解くことができる。すなわち、特性方程式の根が実根、複素根であるにかかわらず2根α及びβを持つとき、αⁿ及びβⁿはそれぞれ漸化式を満たし、重根αを持つときは、αⁿ及びnαⁿがそれぞれ漸化式を満たすこととなる。言わば漸化式の“基底解”となっているわけである。一般項は漸化式の線形性のおかげでこれら2組の“基底解”の線形結合で表すことができ、2つの未定係数は任意の2項（初項と第二項である必要はないのはもちろん、隣接している必要すらない）の情報から決定することができる。

フィボナッチ数列はこのタイプの漸化式をもつので、手順にしたがって一般項 a_n が

$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n\right\}$

なる明示式として得られる。

連立線型漸化式

ふたつの数列 (x_n), (y_n) が与えられていて、それらが帰納的に連立漸化式

$\begin{cases} x_{n+1} = a x_n + b y_n\\ y_{n+1} = c x_n + d y_n \end{cases}$

を満たしているとする。これを二元の定数係数連立線型漸化式という。漸化式を

$\mathbf{x}_{n+1} = A\mathbf{x}_n \quad A := \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\ \mathbf{x}_n := \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$

の形に書けば、連立漸化式を平面上の点列の一次変換による移動の様子として捉えることができる。A をこの連立線型漸化式の係数行列と呼ぶ。また、

$\mathbf{x}_{n} = A^{n-1}\mathbf{x}_0$

となることも明らかであるから、係数行列 A の冪乗が計算できるならば、連立漸化式を解くことができる。

ゆえに、定数係数連立線型漸化式は係数行列 A を三角化あるいは対角化するような基底に関する表示、あるいは同じことだが、P⁻¹AP が三角行列か対角行列となる正則行列 P をとって、座標変換 P⁻¹x_n = y_n を行うことで得られる連立漸化式

$\mathbf{y}_{n+1} = P^{-1}AP\mathbf{y}_n$

の考察に帰着される。

また、y_n = x_n−1 や y_n ≡ 1 となる場合を考えると c や d を適当に選んで

$x_{n+1} = a x_n + b x_{n-1},\quad \mathbf{x}_{n+1} = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{x}_n$

や、

$x_{n+1} = a x_n + b,\quad \mathbf{x}_{n+1} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}_n$

のように、隣接二項間および三項間の定数係数線型漸化式が得られる。先に述べたこれらの漸化式の解法は係数行列の冪乗を求める方法に対応している。特に、定数係数連接三項間漸化式の特性多項式は係数行列の特性多項式に一致する。

もう少し一般に、

$\mathbf{y}_{n+1} = A\mathbf{y}_n + \mathbf{b}$

の形の点列の変換（アフィン変換）は、変換の不動点、つまり

$\mathbf{y}_{\infty} = A\mathbf{y}_{\infty} + \mathbf{b}$

を満たす点 y_∞ をとれば、x_n := y_n − y_∞ とおくことにより、線型漸化式

$\mathbf{x}_{n+1} = A\mathbf{x}_n$

に帰着される。

これらのことは、さらに高次化することができる。

数学的帰納法

漸化式自体が帰納的に数列を定義するものであり、一般項 a_n がどのような形であるかを述べることが自然数に関する命題とみなすことができることから、漸化式を持つ数列の一般項を求める際に数学的帰納法は有用な手法である。

数列の和

数列の和はしばしば級数 (series) と呼ばれる。はじめの n-項までの和を第 n-部分和 (patial sum) と呼び、何らかの自然数 n に対して第 n-部分和となるようなものを有限級数 (finite series) と総称する。

雑多な例

• 等差数列の初項から n-項までの和
  $S_n = \frac{n\left\{2a+(n-1)d\right\}}{2} = \frac{n(a+l)}{2}$
  ただし、a = a₁ は初項、l = a_n は末項である。
• 等比数列の初項から n-項までの和
  $S_n = \begin{cases} \frac{a_{1}(1-r^n)}{1-r}=\frac{a_{1}(r^n-1)}{r-1} & (r\ne 1) \\ na_1 & (r=1)\end{cases}$
• 冪和
  $\sum_{i=1}^n i^k = 1^k + 2^k + \cdots + n^k$
  の明示式にはベルヌーイ数が現れる。ベルヌーイ数に限らず、このような関係式によっていくつかの数の系列が定義されることがある。

和分法･差分法

詳細は「階差数列」および「不定和分」を参照

fill-in: 数列 a に対して歩み k の階差 Δ_k a := a_n+k − a_n や l-階の階差 Δ_k^l a := Δ_k(Δ_k^l−1 a_n+k − Δ_k^l−1 a_n)/函数 f に対する歩み k の階差 Δ_k f(x) := (x + k) − f(x), 特に k = 1 のとき Δf(x) = f(x + 1) − f(x) を Δf/Δx = {f(x + 1) − f(x)}/{(x + 1) − x} とみて言えることについて/ -> 歩み 0 の階差としての微分etc.

• 階乗冪函数の差分: Δx⁽ⁿ⁾/Δx = nx⁽ⁿ⁻¹⁾

与えられた数列 (a_n) に対し、階差数列が (a_n) となるような数列 (s_n) をしばしば数列 (a_n) の不定和分 (indefinite sum) と呼び、(Δ⁻¹a_n) などで表す。

$\Delta s_n = a_n \iff s_n = \Delta^{-1}a_n.$

このような数列があたえられたとき、a_k := s_k+1 − s_k を k = 0, ..., n について片々加えることにより

$S_n =: \sum_{k=0}^{n} a_k = s_{n+1} - s_0$

が成立する。すなわち、不定和分 s_n は（定数列を加える差を除き）実質的に数列の第 n-部分和 S_n を与えるものである。もっと一般に、函数 f(x) の不定和分 Δ⁻¹f(x) が

Δ ^{− 1}f(x + 1) − Δ ^{− 1}f(x) = f(x)

となるものとして定義され、

$\sum_{k=0}^{n-1} f(x+k) = \Delta^{-1}f(x+n) - \Delta^{-1}f(x)$

がなりたつ。これを「差分・和分法の基本定理」あるいは「離散版微分積分学の基本定理」(fundamental theorem of discrete calculus) などと呼ぶことがある。このような函数 Δ⁻¹f(x) は周期 1 の周期函数を加える違いを除いて一意である。

数列の和分法について、上方階乗冪 kⁿ は基本的である。

n ≥ 0: $\sum_{k=1}^{m} k(k+1)\cdots(k+n-1) = \frac{1}{n+1}m(m+1)\cdots(k+n)$

n = −1: $\sum_{k=1}^m 1/k = H_m$

n ≤ −2: $\sum_{k=1}^m \frac{1}{k(k+1)\cdots(k+|n|-1)} = \frac{1}{1+n}\left(\frac{1}{(m+1)\cdots(m+|n|-1)} -\frac{1}{(|n|-1)!}\right)$

ここで、H_m は第 m-調和数と呼ばれるものである。

数列の極限

詳細は「数列の極限」を参照

$\lim_{n\to\infty}a_n$

$\varliminf_{n\to\infty}a_n\le \lim_{n\to\infty}a_n\le \varlimsup_{n\to\infty}a_n$

「極限」も参照

コーシー数列

詳細は「コーシー列」を参照

$d(x_n,x_m) = \left\Vert x_n - x_m \right\Vert \to 0 \mbox{ as } n<m, n\to\infty$

無限級数

詳細は「無限級数」を参照

有限級数の極限は、可算無限個全ての項についての和と看做すことができるもので、無限級数 (infinite series) と呼ばれる。

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}S_n,\quad S_n = \sum_{i=1}^{n}a_i$

双無限数列 (a_n)_n∈Z の和は、二つの無限級数

$\sum_{n=0}^{\infty}a_n,\quad \sum_{m=1}^{\infty} a_{-m}$

が収斂するならば、それらの和である。

「総和」および「冪級数」も参照

総和法

詳細は「総和法」を参照

数列の有限和や絶対収斂に対する自然な意味での「和」の概念を、それ以外の特に発散級数に対して延長する試みを総和法という。素朴な和の概念からはしばしば奇異に映る性質を有する。

• チェザロ和: $\lim_{n\to\infty}\frac{s_1+s_2+\cdots+s_n}{n},\quad s_k=a_1+a_2+\cdots+a_k$
• アーベル和
• 繰り込み

母函数

詳細は「母函数」を参照

与えられた数列 (a_n) に対して、それを係数に持つような冪級数を

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, \quad \sum_{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}$

などで与えることにより、数列の性質を函数の性質として調べることができるようになる。これを数列の母函数という。母函数の満たす微分方程式から係数列の漸化式を構成したり、係数列の漸化式から母函数の満たす微分方程式を作ったりすることができる。もし、微分方程式を解いて母函数の閉じた式を手に入れることができるならば、級数の収斂する限り、テイラーの定理によって数列の各項の値を、母函数の特殊値として計算することができる。

また、冪級数の積は数列の畳み込みに対応する。

(c_n): = (a_n) * (b_n)

$\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right) \left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$

「冪級数」も参照

無限積

詳細は「無限積」を参照

$\prod_{n=1}^{\infty} a_n$

$\prod_{n=1}^{\infty} (1+u_n) \sim 1 + \sum_{n=1}^{\infty} u_n + \sum_{n_1,n_2}u_{n_1}u_{n_2} + \cdots$

$\log\prod_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^\infty \log(a_n)$

数列とベクトル

詳細は「数列空間」および「数ベクトル空間」を参照

項数 n の有限数列はしばしば n-組と呼ばれる。有限数列は数ベクトルから線型構造を落としたものとみることができ、逆に項数の等しい数列同士の和や数列の定数倍を

(a_n) + (b_n): = (a_n + b_n)

λ(a_n): = (λa_n)

によって定めることができるので、これらはしばしば適当な意味で同一視される。この同一視によって有限数列の集合がベクトル空間を成すとき、このベクトル空間の構造は有限集合上の函数空間の構造と看做される。無限数列も同様にしてベクトル空間と考えたとき、その部分線型空間として得られるようなベクトル空間は一般に数列空間と呼ばれる。無限数列からは、有界数列の空間や収斂数列の空間、コンパクト台付き数列（実質有限列）の空間など様々な数列空間を組み立てることができる。

一般化

多重数列

詳細は「多重数列」を参照

添字を二つ持つような数列 (a_m,n)_m,n∈N は格子 Λ := {(m, n) ∈ N × N} 上で定義される函数である。

$\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} & \cdots\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matrix}$

二重数列 (a_m,n) が極限

$\lim_{m\to\infty\atop n\to\infty} a_{m,n}$

を持つとは、任意に与えられた ε > 0 に対し十分大きな番号 N をとれば、m, n > N なるとき常に |a_m,n − α| < ε とできるような定数 α が存在することである。これは二重極限

$\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} a_{m,n},\quad \lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}a_{m,n}$

などと一般には異なる。フビニの定理も参照。

二重級数

∑	am,n
m,n

は格子点の全体 Λ = N × N に整列順序を入れることによって通常の単純級数（一重級数）に書き直せる。とくに Λ を可算個の有限または無限集合の直和

$\Lambda = K_1\sqcup K_2 \sqcup \cdots \quad \text{(disjoint)}$

に分解するとき、各 K_i 上で和

$\sigma_i := \sum_{(m,n)\in K_i} a_{m,n}$

が有限和または絶対収斂級数であるならば、

$\sum_{m,n}a_{m,n} = \sigma_1 + \sigma_2 + \cdots$

の収斂性についての考察に帰着される。Λ の整列順序の入れ方あるいは分解の仕方に依らず一定の和を持つならば、二重級数は無条件収斂するという。たとえばこのとき

$\lim_{m\to\infty\atop n\to\infty}\sum_{i=1}^m\sum_{k=1}^n a_{m,n} = \sum_{m=1}^\infty\left(\sum_{n=1}^\infty a_{m,n}\right) = \sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{m=1}^\infty a_{m,n}\right) = \sum_{k=1}^\infty\left(\sum_{m+n=k} a_{m,n}\right)$

が成立する。

関連項目

• 列 (数学)
• 族 (数学)
• 級数

外部リンク

• オンライン整数列大辞典