数列空間

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関数解析学および関連する数学の分野における数列空間(すうれつくうかん、: sequence space)とは、実数あるいは複素数の無限を元とするベクトル空間のことを言う。またそれと同値であるが、自然数から実あるいは複素数 K への関数を元とする関数空間のことでもある。そのような関数すべてからなる集合は、K に元を持つ無限列すべてからなる集合であると自然に認識され、関数の各点英語版毎の和および各点毎のスカラー倍の作用の下で、ベクトル空間と見なされる。すべての数列空間は、この空間の線型部分空間である。通常、数列空間はノルムを備えるものであり、そうでなくとも少なくとも位相ベクトル空間の構造を備えている。

解析学におけるもっとも重要な数列空間のクラスは、p-総和可能な数列からなる関数空間 ℓp である。それらの空間は p-ノルムを備え、自然数の集合上の数え上げ測度に対するLp空間の特別な場合と見なされる。収束列や零列のような他の重要な数列のクラスも数列空間を構成し、それらの場合はそれぞれ c および c0 と表記され、上限ノルムが備えられる。任意の数列空間は各点収束位相を備えるものでもあり、その位相の下でのそれらの空間は、FK空間英語版と呼ばれるフレシェ空間の特殊な場合となる。

定義[編集]

K を実数あるいは複素数の体とする。すべてのスカラーの列

(x_n)_{n\in\mathbf{N}},\quad x_n\in\mathbf{K}

の集合を KN と表す。この空間は、ベクトル和を

(x_n)_{n\in\mathbf{N}} + (y_n)_{n\in\mathbf{N}} \stackrel{\rm{def}}{=} (x_n + y_n)_{n\in\mathbf{N}}

と定め、スカラー倍を

\alpha(x_n)_{n\in\mathbf{N}} := (\alpha x_n)_{n\in\mathbf{N}}

と定めることで、ベクトル空間になる。数列空間とは、KN の任意の線型部分空間のことを言う。

p 空間[編集]

0 < p < ∞ に対して、ℓp

\sum_n |x_n|^p < \infty

を満たすすべての列 x = (xn) からなる KN の部分空間である。 p ≥ 1 の場合、

\|x\|_p = \left(\sum_n|x_n|^p\right)^{1/p}

として定義される実数値作用 \|\cdot\|_p が、ℓp 上のノルムを定める。実際、ℓp はこのノルムについて完備距離空間であり、したがってバナッハ空間である。

0 < p < 1 なら、ℓp はノルムを持たない。しかし、

d(x,y) = \sum_n |x_n-y_n|^p\,

で定義される距離関数を持つ。

p = ∞ なら、ℓ はすべての有界列からなる空間として定義される。ノルム

\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|,

について、ℓ はバナッハ空間となる。

cc0[編集]

収束列からなる空間 c は、数列空間である。この空間は、limn→∞xn が存在するようなすべての x ∈ KN で構成されている。すべての収束列は有界であるため、c は ℓ の線型部分空間である。さらに、無限大ノルムについて閉部分空間でもあるため、それ自身バナッハ空間である。

零列の部分空間 c0 は、極限がゼロであるようなすべての数列により構成されている。これは c の閉部分空間であるため、ふたたびバナッハ空間となる。

他の数列空間[編集]

有界級数の空間は bs と表記される。それは、

\sup_n \left\vert \sum_{i=0}^n x_i \right\vert < \infty

を満たすようなすべての列 x からなる空間である。この空間は、ノルム

\|x\|_{bs} = \sup_n \left\vert \sum_{i=0}^n x_i \right\vert

が備えられたとき、そのノルムについてバナッハ空間となる。またその空間は、線型写像

(x_n)_{n\in\mathbf{N}} \mapsto \left(\sum_{i=0}^n x_i\right)_{n\in\mathbf{N}}

を介して ℓ と等長同型である。すべての収束列からなる空間 cs は、この同型写像の下で空間 c へと向かう部分空間である。

空間 Φ あるいは c_{00} は、高々有限個の非ゼロ項を持つ(有限なを持つ)無限列からなる空間として定義される。この集合は、多くの数列空間において稠密である。

p 空間と空間 c0 の性質[編集]

空間 ℓ2 は、ヒルベルト空間であるような唯一つの ℓp 空間である。なぜならば、内積により導出されるノルムは中線定理 \|x+y\|_p^2 + \|x-y\|_p^2= 2\|x\|_p^2 + 2\|y\|_p^2 を満たさなければならず、その xy に異なる二つの単位ベクトルを代入することで p = 2 でない限りその等式は成立しないことが分かるからである。

各 ℓp は、p < s のとき ℓs の真部分集合である。さらに、ℓpp ≠ s ならば ℓs とは線型同型ではない。実際、ピットの定理 (Pitt 1936) により、p < s ならば ℓs から ℓp へのすべての有界線型作用素はコンパクトであるが、そのような作用素は同型とはなり得ない。またさらに、それは ℓs の任意の無限次元部分空間上の同型ともなり得ず、厳密特異作用素英語版と呼ばれる。

1 < p < ∞ なら、ℓp の(連続)双対空間は、1/p + 1/q = 1 を満たすようなヘルダー共役 q に対する空間 ℓq と等長同型である。この特別な同型は、ℓq のある元 x を、ℓp の元 y の汎函数

L_x(y) = \sum_n x_ny_n

と関連付ける。ヘルダーの不等式より、Lx は ℓp 上の有界線型汎函数であることが分かる。また実際、

|L_x(y)| \le \|x\|_q\,\|y\|_p

であることから、その作用素ノルム

\|L_x\|_{(\ell^p)^*} \stackrel{\rm{def}}{=}\sup_{y\in\ell^p, y\not=0} \frac{|L_x(y)|}{\|y\|_p} \le \|x\|_q

を満たす。実際 y を ℓp の元とし、

y_n = \begin{cases}0&\rm{if}\ x_n=0\\
x_n^{-1}|x_n|^q &\rm{if}\ x_n\not=0
\end{cases}

とすれば、Lx(y) = ||x||q が得られる。したがって、実際

\|L_x\|_{(\ell^p)^*} = \|x\|_q

である。逆に、ℓp 上の与えられた有界線型汎函数 L に対し、xn = L(en) で定義される数列は ℓq に属する。したがって、写像 x\mapsto L_x等長写像

\kappa_q : \ell^q \to (\ell^p)^*

を与える。

κp を、その転置の逆と合成することにより得られる写像

\ell^q\xrightarrow{\kappa_q}(\ell^p)^*\xrightarrow{(\kappa_q^*)^{-1}}

は、その二重双対への ℓq標準単射と一致する。したがって、ℓq回帰的空間である。記法の濫用英語版より、ℓq をその双対と等しい (ℓp)* = ℓq ことが一般的となっている。したがって、回帰性は、(ℓp)** = (ℓq)* = ℓp という等号のつながりによって理解される。

空間 c0 は、||x|| と等しいノルムによりゼロへと収束するすべての数列からなる空間として定義される。それは ℓ の閉部分空間であり、したがってバナッハ空間である。その双対空間は ℓ1 である。ℓ1 の双対空間は ℓ であることに注意されたい。自然数の添字集合の場合、ℓpc0可分である。ただし ℓ は例外となる。ℓ の双対空間はba空間英語版である。

空間 c0 と ℓp(1 ≤ p < ∞)には、標準無条件シャウダー基底英語版 {ei | i = 1, 2,…} が存在する。ここで ei は第 i 成分のみ 1 でその他ではゼロであるような列である。

空間 ℓ1シューアの性質英語版を持つ:すなわち、ℓ1 において弱収束英語版する列は、必ず強収束英語版もする(Schur 1921)。しかし、無限次元空間上の弱位相英語版は、強位相英語版よりも厳密に弱いため、ℓ1 には弱収束するが強収束しない有向点族が存在する。

p 空間は多くのバナッハ空間埋め込まれる英語版。すべての無限次元バナッハ空間がある ℓp あるいは c0 の同型を含むかという問題は、1974年のボリス・タイレルソン英語版によるタイレルソン空間英語版の構成により、否定的な解答が与えられた。その対として、すべての可分バナッハ空間は ℓ1商空間と線型等長である、という問題は、Banach & Mazur (1933)により肯定的な解答が与えられた。すなわち、すべての可分バナッハ空間 X に対して、X\ell^1 / \ker Q と同型になるような商写像 Q:\ell^1 \to X が存在する。一般的に、ker Q は ℓ1 内で完備化されない。すなわち、\ell^1 = Y \oplus \ker Q であるような ℓ1 の部分空間 Y は存在しない。実際、ℓ1 はそれ自身のどれとも同型でないような非可算個の多くの非完備部分空間を持つ(例えば、X=\ell^p を考える。そのような X は非可算に多く存在し、ℓp はどの他のものとも同型でないため、非可算個の多くの ker Q が存在する)。

自明な有限次元の場合を除き、ℓp の変わった性質は、それが多項式的回帰的空間英語版であることである。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Banach, S.; Mazur, S. (1933), “Zur Theorie der linearen Dimension”, Studia Mathematica 4: 100–112 .
  • Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume I, Wiley-Interscience .
  • Pitt, H.R. (1936), “A note on bilinear forms”, J. London Math. Soc. 11 (3): 174–180, doi:10.1112/jlms/s1-11.3.174 .
  • Schur, J. (1921), “Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 151: 79–111 .