ベルヌーイ数

ベルヌーイ数（ベルヌーイすう、Bernoulli number）とは有理数で、次の関数をマクローリン展開すなわちテイラー展開したときの、各項の係数に対して定義される数 B_n をいう。

$f(x) = \frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^\infin \frac{B_n}{n!} x^n$

ただし、

$B_n = \lim_{t \to 0}f^{(n)}(t)$

である。何度微分しても f⁽ⁿ⁾(0) は不定形となってしまうから、定義から実際にベルヌーイ数を求めるのは容易ではない。そこで、しばしば次のような漸化式が用いられる。

$B_{0} = 1 \ , \ B_{n} = -{1 \over n+1}\sum^{n-1}_{i=0}{n+1 \choose i}B_i$

ここで

${n \choose k }={}_n\mathrm{C}_k=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$

この漸化式は、上記の関数f(x)の逆数関数をテイラー展開し、その2つの積が1になることから導ける。この漸化式は厳密な計算には有用であるが、nが大きくなると途中の式の値が非常に大きくなるため、浮動小数点数を使って計算する場合、精度が著しく悪くなる計算として知られている。

ベルヌーイ数を使うと規則性が簡単にわからない正接関数のマクローリン展開などが容易に書ける。

$\tan z = \sum_{n=1}^\infin \frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}z^{2n-1}$

や

$\csc z = \frac{1}{\sin z}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^\infin \frac{(-1)^{n-1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}z^{2n-1}$

などがある。上の漸化式から、ベルヌーイ数（列）の第20項までを算出すれば、

n	Bnの分子	Bnの分母
0	1	1
1	-1	2
2	1	6
3	0
4	-1	30
5	0
6	1	42
7	0
8	-1	30
9	0
10	5	66
11	0
12	-691	2730
13	0
14	7	6
15	0
16	-3617	510
17	0
18	43867	798
19	0
20	-174611	330

となる。

奇数番目のベルヌーイ数はB₁を除けば全て0であり、偶数番目はB₀を除いて正の数と負の数が交互に並ぶ。このことは、正接関数のマクローリン展開における偶数乗の項の係数が0であり、奇数乗の項の係数がすべて正の数であることから証明できる。

関連項目

• ヤコブ・ベルヌーイ
• 関孝和
• ファウルハーバーの公式
• ベルヌーイ多項式
• ゼータ関数
• 三角関数