L-函数の特殊値

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数学において、L-函数の特殊値 の研究は、数論の一分野であり、ライプニッツ (Leibniz) の π の公式

1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\!

のような公式を一般化することを研究している。この公式の左辺は、L(s) をガウスの有理数体 Q(i) のディリクレ級数としたときの L(1) であるという見方ができる。この公式は、(解析的)類数公式の特別な場合であり、上記の式はガウスの有理数体の類数が 1 であること[1]を意味し、また、この体が 4 個の1の冪根を含むことから 1/4 倍が来ている。

予想には 2つのグループがあり、L-函数の一般的なクラス(非常に一般的な設定は代数体上の周モチーフに関連する L-函数 L(s) である)として定式化されていている。2つのグループは次の(a)(b)である。、

(a) どのようにライプニッツの公式の π を他の「超越」数に置き換えるのか。(超越性の証明をするためには、超越数論英語版を使うことが可能かどうか)
(b) どのように公式の有理数の因子(類数割る1の冪根の数)を一般化するのか。ある有理数の代数的構成が存在して、L-函数値と「超越的」因子の比として実現するような有理数の代数的構成が存在するのではないだろうか。

そのような公式が成り立つことの期待できる整数値 nL(n) について、さらに必要な説明を加える。

(a)についての予想は、アレクサンダー・ベーリンソン英語版により提出されたので、ベーリンソン予想(Beilinson's conjecture)と呼ばれる。[2][3] アイデアは、数体のレギュレータからある「高次のレギュレータ」(ベーリンソンレギュレータ英語版)、代数的K-理論からくる実ベクトル空間上構成される行列式、に抽象化することである。

(b)の予想のほうは、特殊値についての(玉河数についての)ブロッホ・加藤予想(Bloch–Kato conjecture)と呼ばれている。スペンサー・ブロッホ英語版(Spencer Bloch)と加藤和也により提出された。このブロッホ・加藤予想の一連のアイデアは、K-理論のブロッホ・加藤予想とは異なる。(K-理論のブロッホ・加藤予想のほうはミルナー予想を拡張したもので、2009年に証明が発表された。)さらにより詳しくいうと、玉河数予想(Tamagawa number conjecture)とも呼ばれる。バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想では、線型代数群英語版玉河数英語版問題の楕円曲線での類似物の定式化から来た命名である。[4] 更なる拡張として、同変玉河数予想 (ETNC) が定式化されていて、岩澤理論とこれらのアイデアとの関連を統合するものである。同変玉河数予想と岩澤の主予想は同値ではないだろうか、と数学的に定式化[5]できるのではないか。[6][7]

これらの予想はすべて、特別なケースについてのみ成立することしか知られていない。

脚注[編集]

  1. ^ ここでの類数は、類数問題との関連を意識し、ガウスの類数問題(予想)の項目を参照した。
  2. ^ Peter Schneider, Introduction to the Beilinson Conjectures (PDF)
  3. ^ Jan Nekovář, Beilinson's Conjectures (PDF)
  4. ^ Matthias Flach, The Tamagawa Number Conjecture (PDF)
  5. ^ Mathematical Forkloreという単語が使用されているが、定理や定義、証明といった一連の数学的テクニックにより正当性を持つものというような意味である。
  6. ^ E.g. Huber, Annette; Kings, Guido (2003). "Bloch–Kato conjecture and main conjecture of Iwasawa theory for Dirichlet characters". Duke Math. J. 119 (3): 393–464. doi:10.1215/S0012-7094-03-11931-6. 
  7. ^ Tamagawa Number Conjecture for zeta Values by Kazuya Kato http://arxiv.org/pdf/math/0304233v1.pdf

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]

L-funktionen und die Vermutingen von Deligne und Beilinson (L-functions and the conjectures of Deligne and Beilsnson)