収束半径

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収束半径(しゅうそくはんけい、radius of convergence) とは、冪級数収束する定義域を与える非負量(実数あるいは)である。

次の冪級数を考える。

f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n

ただし、中心 a や係数 cn複素数(特に実数)とする。次の条件が成立するとき、r をこの級数の収束半径という。

\left|z-a\right|<r

であるとき、級数は収束し、

\left|z-a\right|>r

であるとき、級数は発散する。

もし、級数が全ての複素数 z に関して収束するならば、収束半径は ∞ となる。

収束半径の値[編集]

収束半径は、級数の各項にコーシーの冪根判定法を適用することで求めることができる。もし、

C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|c_n|}

(lim supは上極限を表す)であれば、収束半径は 1/C である。C=0 であれば、収束半径は無限であり、複素数平面上に特異点は存在せず、f(z)が整関数であることを意味する。

ただ、大抵の場合はダランベールの収束判定法で事足りる。ある自然数mが存在し、mnとなるすべての自然数nについてcn≠0となるとき、極限

 L = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|

が存在するならば、収束半径は 1/L である。この極限は、上記の C より計算しやすい。しかし、代わりに C に関する公式を使わねばならないような場合には、L は収束しない。

また、具体的に係数cnが求まらない場合は優級数を用いて評価する方法もある。複素関数の場合には、複素数z0を中心としたテイラー展開の収束半径は、その点から最も近い特異点(微分できない点)までの距離に等しいことが知られている。逆に複素数平面上に級数が収束する領域を円で表すと、その境界線上には必ず特異点が存在することになる。特異点が存在しない場合は、収束半径は無限大である。