アフィン写像

数学とくに幾何学において、アフィン写像（あふぃんしゃぞう）あるいはアフィン線型写像とは、アフィン空間の構造を保つような写像のことである。とくに始域と終域が同じであるようなアフィン写像をアフィン変換という。

[編集] 定義

二つのアフィン空間 (A, V(A)), (B, V(B)) に対し、写像 f: (A, V(A)) → (B, V(B)) がアフィン写像であるとは、写像 f: A → B と線形写像 V(f): V(A) → V(B) の組 (f, V(f)) であって、条件

任意の a ∈ V(A) に対し、 $\mathbf{a} = \overrightarrow{PQ}$ (P, Q ∈ A) ならば、 $V(f)(\mathbf{a}) = \overrightarrow{f(P)f(Q)}$ 。
任意の P ∈ A, a ∈ V に対し、f(P + a) = f(P) + V(f)(a) が成り立つ。ただし、+ a, + V(f)(a) はそれぞれ、A, B でベクトル a, V(f)(a) が定める平行移動。

を満たすもののことである。これを単にアフィン写像 f: A → B ということがある。(<- fix me.)

特に、写像 f: A → B が全単射で線形写像 f: V(A) → V(B) がベクトル空間の同型であるならば、アフィン写像 f: (A, V(A)) → (B, V(B)) は同型である、あるいはアフィン同型写像であるという。

n 次元アフィン空間 A から m 次元アフィン空間 B へのアフィン線型写像は、座標系を固定してやることにより、アフィン空間の各元の座標の変換式として、m 行 n 列の行列 T と定ベクトル b を用いて、

x → y = Tx + b

の形で与えられる。特に m = n かつ行列 T が正則ならば、このアフィン線型写像は正則であるという。

アフィン変換は直線を直線に写し、線分比を保つ。アフィン空間 A 内の図形 C が A 上の正則なアフィン変換 f によって別の図形 D に移されるなら C と D はアフィン合同であるという。ユークリッド空間において相似な図形、とくに合同な図形は、互いにアフィン合同である。

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二つのアフィン変換の合成は、やはりアフィン変換である。あるアフィン空間 A 上のアフィン変換の全体 aff(A) は合成に関して群を成す。(<- fix me.)

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画像処理、特にベクトルベースでベジェ曲線を扱うソフトなどでは、アフィン変換により拡大・縮小、平行移動、回転を処理する。効果の合成を行列積で表現できるため、入れ子の図形を扱うのも容易である。