周期関数

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数学における周期函数(しゅうきかんすう、: periodic function)は、一定の間隔あるいは周期ごとに取る値が繰り返す函数を言う。最も重要な例として、 ラジアンの間隔で値の繰り返す三角函数を挙げることができる。周期函数は振動波動などの周期性を示す現象を記述するものとして自然科学の各分野において利用される。周期的でない任意の函数は非周期的 (aperiodic) であるという。

周期 P を持つ周期函数の図示

定義[編集]

函数 f周期的 (periodic) あるいは(零でない定数 P に対して)周期 P を持つとは、x の任意の値に対して

f(x+P) = f(x)

が成立するときに言う。この性質を持つ定数 P のうちに最小の正数が存在するとき[1]、そのような正数 P基本周期と呼ぶ。周期 P を持つ函数は、長さ P の区間ごとに値が繰り返すが、そのような区間を一周期と呼び表す。

幾何学的に言えば、周期函数はそのグラフが平行移動対称となるような函数として定義することができる。具体的には、函数 f が周期 P に関して周期的ならば、f のグラフは x-方向への移動距離 P平行移動英語版のもとで不変英語版である。このような周期性の定義は、ほかの幾何学図形や周期的平面充填のような幾何学パターンに対しても拡張することができる。

周期的でない函数は非周期的であると言う。

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正弦函数のグラフを二周期分示した図

例えば正弦函数は任意の x に対して

\sin(x + 2\pi) = \sin x

を満たすから周期 を持つ周期函数である。この函数は長さ の区間ごとに同じ値を繰り返す。

日常的な例は時間を変数として、例えば時計の針や月齢などが周期的な振る舞いを見せる。周期運動は系の位置が全て同じ周期を以って周期函数で表されるような運動を言う。

実変数整数変数の函数であれば、周期的であることは函数のグラフが特定の一部分のコピーを一定間隔で並べて全体を形作ることができることを意味する。

周期函数の簡単な例として、引数の小数部分英語版を返す函数 f を考えると、その周期は 1 である。特に

f(0.5) = f(1.5) = f(2.5) = … = 0.5

のようなことが成り立つ。この函数 f のグラフは鋸歯状波になる。

f(x) = sin(x) および g(x) = cos(x) のグラフ。両函数はともに周期 を持つ。

三角函数の正弦および余弦函数は、ともに周期 を持つ、共通周期函数である。フーリエ級数の主題は、「勝手な」周期函数を周期を調整した三角函数の和として表すという考えについて研究するものである。

上記の定義に従えば、例えばディリクレの函数のような、ある種の際立った (exotic) 函数までもが周期的であることになる(ディリクレ函数の周期は任意の非零有理数)。

性質[編集]

周期的な函数 f が周期 P を持つならば f の定義域の各元 x と任意の整数 n に対して

f(x + nP) = f(x)

が成立する。同じく f が周期 P を持つならば、定数 a, b に対して函数 f(ax + b) は周期 P|a| を持つ周期函数になる。例えば f(x) = sin x は周期 ゆえ sin(5x) は周期 2π/5 を持つ。

二重周期函数[編集]

ガウス平面上で定義される函数は、定数函数でなくとも互いに不均衡な二つの周期を持ち得る(この文脈での「不均衡」は、一方が他方の実数倍でないことを言う)。例えば楕円函数はそのような函数である。

複素変数の周期函数の例[編集]

変数を複素数まで広げて考えれば、よく知られた周期函数

e^{ikx} = \cos kx + i\,\sin kx

が取れる。見ての通り正弦も余弦も周期的であるから、この複素指数函数(実際にはオイラーの公式)は正弦波と余弦波を統合するもので、その周期 LL = 2π/k で与えられる。

一般化[編集]

反周期函数[編集]

周期函数の一般化の一つに反周期函数 (antiperiodic functions) があり、これは全ての x に対して f(x + P) = −f(x) を満たすような函数 f のことを言う。従って、周期について P-反周期函数は 2P-周期函数になる。

ブロッホ函数[編集]

更なる一般化はブロッホ波フロケ理論の文脈において現れ、さまざまな周期的微分方程式の解として統制される。この文脈で(一次元の場合の)解は、典型的には適当な実または複素定数 k を伴って

f(x+P) = e^{ikP} f(x)

なる形に表される(定数 kブロッホ波ベクトルフロケ指数と呼ばれる)。この文脈では、この形の函数はブロッホ周期的であると言うこともある。通常の周期函数は k = 0 なる特別の場合であり、また反周期函数は k = π/P なる特別の場合である。

商空間上の函数[編集]

フーリエ級数は周期函数を表現し、フーリエ級数は畳み込み定理(すなわち、フーリエ級数の畳み込みは表現される周期函数の積に対応し、逆もまた然り)を満足するけれども、信号処理において周期函数の畳み込みは通常の定義に従えば積分が発散するために畳み込むことができないという問題に遭遇する。これを解決する方法の一つは、有界だが周期的でない領域上で定義された周期函数というものを考えることである。これを達成するために商空間の概念を用いて

{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}
 = \{x+\mathbb{Z} : x\in\mathbb{R}\}
 = \{\{y : y\in\mathbb{R}\land y-x\in\mathbb{Z}\} : x\in\mathbb{R}\}

を考えよう。このとき R/Z の各元は同じ小数部分を持つ実数からなる同値類であり、函数 f: R/ZR は周期 1 の周期函数を表すものと考えられる。

関連項目[編集]

注釈[編集]

  1. ^ 定数函数有理数全体の成す集合の指示函数のような、ある種の函数には最小の正「周期」は存在しない(周期として取り得る正の P下限0 になってしまう)。

参考文献[編集]

  • Ekeland, Ivar (1990). “One”. Convexity methods in Hamiltonian mechanics. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. 19. Berlin: Springer-Verlag. pp. x+247. ISBN 3-540-50613-6. MR1051888. 

外部リンク[編集]