平面充填

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

平面充填(へいめんじゅうてん)とは、平面内を有限種類の平面図形タイル)で隙間なく敷き詰める操作である。敷き詰めたタイルからなる平面全体を平面充填形という。

平面敷き詰めタイル貼りタイリング (tiling) 、テセレーション (tessellation) ともいう。ただし「平面」を明言しない場合は、曲面充填や、場合によっては2次元以外の空間の充填を含む。広義のテセレーション等については、空間充填を参照。平面充填は広義の空間充填の一種で、2次元ユークリッド空間の充填である。

多面体多角形による球面充填(曲面充填の一種)と考えることができる。そのため、多角形による平面充填は多面体と共通点が多く、便宜上多面体に含めて論じられることもある。

1種類のタイルによる平面充填[編集]

正多角形[編集]

1種類で平面を充填できる正多角形は、正三角形正方形正六角形の3種類のみであり、ピュタゴラスによって証明された。これらは正平面充填形 (Regular Tessellation) とも呼ばれる。

正三角形、正方形については、図の充填のほかに、頂点をずらした充填も可能である。ただし、隣のタイルの頂点と接する辺を、2辺が内角180°で接していると考えれば、これらは実際は、後述する、一般の四角形、平行六角形による充填の特殊ケースとなる。

1種類の正多角形による(頂点をずらさない)平面充填は、正多角形同様、シュレーフリ記号 {p,q} (正 p 角形が q 個頂点に集まる)で表せる。

  • 正三角形 {3,6}
  • 正方形 {4,4}
  • 正六角形 {6,3}

正 p 角形の内角を q 倍すると 360° になることから、

(p - 2) q = 2 p

である。これから、1種類の正多角形による充填がこの3つしか存在しないことが証明できる。

平行四辺形・任意の三角形[編集]

全ての平行四辺形は、1種類で平面充填可能である。また全ての三角形は、合同なものを2つ組み合わせることで平行四辺形となる。従って、全ての三角形は平面充填可能である。

平行六辺形・任意の四角形[編集]

全ての合同な平行六辺形(3組の対辺が平行で等しい六角形)は平面敷き詰め可能である。また、平行四辺形以外の全ての四角形は、合同なものを二つ組み合わせることで平行六辺形となる。従って、全ての四角形は平面敷き詰め可能である。

平行六辺形は、中心を通る直線で合同な2つの五角形に分けられる。このような五角形は平面敷き詰め可能である。

これらの変形[編集]

平面充填形に対して、対応する場所に凹凸をつけた場合も敷き詰め可能。

正方形の例:

Shikitume07.gif
Mozaiku201.gif
Mozaiku104.gif

平行六辺形の例:

Mozaiku202.gif

アルキメデスの平面充填の双対[編集]

#双対充填を参照。

複数種類のタイルによる平面充填[編集]

正多角形[編集]

一種類の場合と同じように、正多角形のみでできていて、頂点形状が一様なアルキメデスの平面充填と呼ばれる平面充填が8種類あり、半正多面体の一種とされることもある。括弧中は頂点形状(各頂点に集まる正多角形の種類と順序)を表す。

ペンローズタイル[編集]

#非周期充填を参照。

充填の双対[編集]

多角形(特に正多角形)による平面充填には、多面体に対する双対多面体のように、双対を考えることが可能である。

1種類の正多角形による平面充填の双対は次のとおり。シュレーフリ記号の数値が入れ替わっている。

  • 正方形 {4,4} ⇔ 正方形 {4,4}
  • 正三角形 {3,6} ⇔ 正六角形 {6,3}

アルキメデスの平面充填の双対は、1種類の(鏡像は同じと考える)多角形による充填となる。

特殊な充填[編集]

ペンローズタイル。有名な非周期充填。
Voderbergタイル。有名な螺旋充填。

非周期充填[編集]

周期的なパターンによる充填以外に、非周期な充填も可能である。ただし、周期充填の非周期な変形による充填(場所によってランダムな方法でタイルを分割するなど)は、非周期とは考えない。

最初の非周期充填は、1966年に発見された、20426種類のタイルを使う充填である。

現在最もタイルの種類が少ない非周期充填は、イギリス物理学者ロジャー・ペンローズが考案した、2種の菱形タイル「ペンローズ・タイル」によるものである。

1種類のタイルによる非周期充填は発見されておらず、また存在も非存在も証明されていない。ちなみに、1種類のブロックによる3次元空間の非周期充填は、1993年に発見された。

中心のある充填[編集]

以上は、平面のあらゆる部分が同等な充填であったが、そうでない充填もある。平面上に中心を定め、そこから放射状にタイルを敷き詰める放射充填 (radial tiling) や、螺旋状にタイルを敷き詰める螺旋充填 (spiral tiling) である。

放射充填は、中心を通る放射状の直線で平面を楔形に分割し、そのそれぞれを三角形タイルで充填したものの変形である。直線の1つについて、その両側をタイル1つ分だけずらせば、螺旋充填となる。一見、複雑に見えるが、回転対称性などの対称性を持つ周期充填である。

関連項目[編集]

  • ルジンの問題 - 「任意の正方形を、全て異なる大きさの正方形に分割できるか」という問題
  • 模様