半正多面体

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半正多面体 (はんせいためんたい、semi-regular polyhedron) またはアルキメデスの立体 (Archimedean solid) とは、一様多面体のうち、正多面体以外のものである。また、対称性が低い (Dihedral) 角柱反角柱ミラーの立体も除く。全部で13種類ある。

一様多面体の条件は、全ての正多角形で、頂点形状合同(頂点に集まる正多角形の種類と順序が同じ)なことである。正多面体は除外するので、半正多面体の面は2種類以上の正多角形で構成される。

準正多面体 (quasi-regular polyhedron) とは、このうちの近傍が合同なもので、立方八面体と二十・十二面体が当てはまる。日本では、半正多面体のことを準正多面体ということがあるが、誤りである[1]

一覧[編集]

多面体 構成面 頂点 頂点形状 双対
切頂四面体 正三角形 4枚

正六角形 4枚

18 12 3,6,6 三方四面体 Truncatedtetrahedron.gif
切頂六面体 正三角形 8枚

正八角形 6枚

36 24 3,8,8 三方八面体 Truncatedhexahedron.gif
切頂八面体 正方形 6枚

正六角形 8枚

36 24 4,6,6 四方六面体 Truncatedoctahedron.gif
切頂十二面体 正三角形 20枚

正十角形 12枚

90 60 3,10,10 三方二十面体 Truncateddodecahedron.gif
切頂二十面体

サッカーボール型)

正五角形 12枚

正六角形 20枚

90 60 5,6,6 五方十二面体 Truncatedicosahedron.gif
立方八面体 正三角形 8枚

正方形 6枚

24 12 3,4,3,4 菱形十二面体 Cuboctahedron.gif
二十・十二面体 正三角形 20枚

正五角形 12枚

60 30 3,5,3,5 菱形三十面体 Icosidodecahedron.gif
斜方立方八面体 正三角形 8枚

正方形 6+12枚

48 24 3,4,4,4 凧形二十四面体 Rhombicuboctahedron.gif
斜方二十・十二面体 正三角形 20枚

正方形 30枚
正五角形 12枚

120 60 3,4,5,4 凧形六十面体 Rhombicosidodecahedron.gif
斜方切頂立方八面体 正方形 12枚

正六角形 8枚
正八角形 6枚

72 48 4,6,8 六方八面体 Truncatedcuboctahedron.gif
斜方切頂二十・十二面体 正方形 30枚

正六角形 20枚
正十角形 12枚

180 120 4,6,10 六方二十面体 Truncatedicosidodecahedron.gif
変形立方体

(鏡像あり)

正三角形 8+24枚

正方形 6枚

60 24 3,3,3,3,4 五角二十四面体 Snubhexahedronccw.gif

Snubhexahedroncw.gif

変形十二面体

(鏡像あり)

正三角形 20+60枚

正五角形 12枚

150 60 3,3,3,3,5 五角六十面体 Snubdodecahedronccw.gif

Snubdodecahedroncw.gif

半正多面体でない多面体[編集]

「面が正多角形で頂点形状が合同」という条件を満たすが、対称性が低いために半正多面体に含められない多面体に、ミラーの立体アルキメデスの角柱アルキメデスの反角柱がある。

ミラーの立体は、斜方立方八面体の上半分を45度ひねった多面体である。ただし、ミラーの立体を半正多面体に含め、キラル変形立方体変形十二面体鏡像を区別し、半正多面体を16種類とする場合もある。

アルキメデスの正角柱とアルキメデスの反角柱を含めないのは、種類が無限にあることも理由である。アルキメデスの立体と言った場合は含むこともある。

正多面体からの作製[編集]

半正多面体を正多面体から作るときの方法は5種類ある。それは以下のとおりである。

切頂 n 面体
n 面体の頂点を切ったもの。切隅 n 面体、切頭 n 面体とも。拡張シュレーフリ記号t{p, q}
nm 面体(準正多面体)
n または m 面体の頂点を各辺の中点まで切ったもの。拡張シュレーフリ記号は \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}
斜方 nm 面体
n または m 面体の各辺と頂点を削ったもの。小斜方 nm 面体、菱形 nm 面体とも。拡張シュレーフリ記号は r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}
斜方切頂 nm 面体
nm 面体の頂点を切ったもの。切頂 nm 面体、大斜方 nm 面体とも。拡張シュレーフリ記号は t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}
変形 n 面体
n 面体の各面をひねったもの。鏡像がある。捩れ n 面体とも。拡張シュレーフリ記号は s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}

双対[編集]

半正多面体の双対は、アルキメデス双対と呼ばれる。1種類の正多角形でない面からできており、頂点に集まる面の頂点角は等しい。

出典[編集]

  1. ^ 「誤訳」者自身による説明