ジョンソンの立体

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正四角錐 (J1)。最初のジョンソンの立体。
三角広底球形屋根丸塔 (J92)。最後のジョンソンの立体。

ジョンソンの立体(ジョンソンのりったい、Johnson solid)、またはザルガラーの多面体(ザルガラーのためんたい、Zalgaller polyhedron)とは、整凸面多面体(せいとつためんたい、regular-faced convex polyhedron)のうち、正多面体半正多面体、アルキメデスの角柱、アルキメデスの反角柱以外のもの。

整凸面多面体とは、全ての正多角形で全てのの長さが等しい凸多面体である。なお、「ザルガラーの多面体」は整凸面多面体の意味で使うこともある。

ジョンソンの立体は全部で92種類ある。正多面体以外のデルタ多面体ミラーの立体も含む。

正多面体・半正多面体のリストアップは比較的簡単だが、ジョンソンの立体のリストアップは簡単ではない。1966年アメリカ数学者ノーマン・ジョンソン(Norman Johnson)が全92種を記した一覧表を発表し、それぞれに番号と名前を与えたが、これで全てだとの証明はされなかった。3年後の1969年ヴィクター・アブラモヴィッチ・ザルガラー(Victor Abramovich Zalgaller)がコンピュータを駆使して、この一覧表が完全であることを証明した。

性質[編集]

面の種類は、1種類のもの(5種のデルタ多面体のみ)と複数種類のものとがある。

面の種類は、正三角形正方形正五角形正六角形正八角形正十角形の6種類のみである。この性質は半正多面体にも共通する。これらの面は、正多面体が持つ3種類の面と、それらの辺の数を倍にしたものである。

正六角形、正八角形、正十角形の中では、最大1種類しか使われない。また、正 2n 角形(n ≥ 3)が使われているときは、正 n 角形も使われている。これらの性質は、半正多面体では成り立たない。

対称性CyclicDihedralである。これらは、正多面体や半正多面体のTetrahedralOctahedralIcosahedralより低い対称性であり、たとえば回転対称性については1本 (Cyclic) か2本 (Dihedral) しか軸を持たない。なお、アルキメデスの角柱やアルキメデスの反角柱の対称性はDihedralである。

一覧[編集]

番号と名称(複数記した場合は最初のもの)はジョンソンによる。n 番目のジョンソンの立体を Jn と書く。

  • 1-6(6種): 角錐角台塔角丸塔
  • 7-17(11種): 角錐柱角錐反柱双角錐
  • 18-48(31種): 角台塔と角丸塔の変形
  • 49-57(9種): 側錐角柱
  • 58-64(7種): 正多面体の変形
  • 65-83(19種): 半正多面体の変形
  • 84-92(9種): その他
Jn 名称 展開図 投影図
n 角形面

その他の
性質
3 4 5 6 8 10
1 正四角錐
(square pyramid)
Johnson solid 1 net.png Square pyramid.png 5 8 5 4 1 C4v
2 正五角錐
(pentagonal pyramid)
Johnson solid 2 net.png Pentagonal pyramid.png 6 10 6 5 1 C5v
3 正三角台塔
(triangular cupola)
Johnson solid 3 net.png Triangular cupola.png 9 15 8 4 3 1 C3v
4 正四角台塔
(square cupola)
Johnson solid 4 net.png Square cupola.png 12 20 10 4 5 1 C4v
5 正五角台塔
(pentagonal cupola)
Johnson solid 5 net.png Pentagonal cupola.png 15 25 12 5 5 1 1 C5v
6 正五角丸塔
(pentagonal rotunda)
Johnson solid 6 net.png Pentagonal rotunda.png 20 35 17 10 6 1 C5v
7 正三角錐柱
(elongated triangular pyramid)
Johnson solid 7 net.png Elongated triangular pyramid.png 7 12 7 4 3 C3v
8 正四角錐柱
(elongated square pyramid)
Johnson solid 8 net.png Elongated square pyramid.png 9 16 9 4 5 C4v
9 正五角錐柱
(elongated pentagonal pyramid)
Johnson solid 9 net.png Elongated pentagonal pyramid.png 11 20 11 5 5 1 C5v
10 正四角錐反柱
(gyroelongated square pyramid)
Johnson solid 10 net.png Gyroelongated square pyramid.png 9 20 13 12 1 C4v
11 正五角錐反柱
(gyroelongated pentagonal pyramid)
Johnson solid 11 net.png Gyroelongated pentagonal pyramid.png 11 25 16 15 1 C5v
12 双三角錐
(triangular dipyramid)
デルタ六多面体
Johnson solid 12 net.png Triangular dipyramid.png 5 9 6 6 D3h デルタ
多面体
13 双五角錐
(pentagonal dipyramid)
デルタ十面体
Johnson solid 13 net.png Pentagonal dipyramid.png 7 15 10 10 D5h デルタ
多面体
14 双三角錐柱
(elongated triangular dipyramid)
Johnson solid 14 net.png Elongated triangular dipyramid.png 8 15 9 6 3 D3h
15 双四角錐柱
(elongated square dipyramid)
Johnson solid 15 net.png Elongated square dipyramid.png 10 20 12 8 4 D4h
16 双五角錐柱
(elongated pentagonal dipyramid)
Johnson solid 16 net.png Elongated pentagonal dipyramid.png 12 25 15 10 5 D5h
17 双四角錐反柱
(gyroelongated square dipyramid)
デルタ十六面体
Johnson solid 17 net.png Gyroelongated square dipyramid.png 10 24 16 16 D4d デルタ
多面体
18 正三角台塔柱
(elongated triangular cupola)
Johnson solid 18 net.png Elongated triangular cupola.png 15 27 14 4 9 1 C3v
19 正四角台塔柱
(elongated square cupola)
Johnson solid 19 net.png Elongated square cupola.png 20 36 18 4 13 1 C4v
20 正五角台塔柱
(elongated pentagonal cupola)
Johnson solid 20 net.png Elongated pentagonal cupola.png 25 45 22 5 15 1 1 C5v
21 正五角丸塔柱
(elongated pentagonal rotunda)
Johnson solid 21 net.png Elongated pentagonal rotunda.png 30 55 27 10 10 6 1 C5v
22 正三角台塔反柱
(gyroelongated triangular cupola)
Johnson solid 22 net.png Gyroelongated triangular cupola.png 15 33 20 16 3 1 C3v
23 正四角台塔反柱
(gyroelongated square cupola)
Johnson solid 23 net.png Gyroelongated square cupola.png 20 44 26 20 5 1 C4v
24 正五角台塔反柱
(gyroelongated pentagonal cupola)
Johnson solid 24 net.png Gyroelongated pentagonal cupola.png 25 55 32 25 5 1 1 C5v
25 正五角丸塔反柱
(gyroelongated pentagonal rotunda)
Johnson solid 25 net.png Gyroelongated pentagonal rotunda.png 30 65 37 30 6 1 C5v
26 異相双三角柱
(gyrobifastigium)
Johnson solid 26 net.png Gyrobifastigium.png 8 14 8 4 4 D2d
27 同相双三角台塔
(triangular orthobicupola)
Johnson solid 27 net.png Triangular orthobicupola.png 12 24 14 8 6 D3h
28 同相双四角台塔
(square orthobicupola)
Johnson solid 28 net.png Square orthobicupola.png 16 32 18 8 10 D4h
29 異相双四角台塔
(square gyrobicupola)
Johnson solid 29 net.png Square gyrobicupola.png 16 32 18 8 10 D4d
30 同相双五角台塔
(pentagonal orthobicupola)
Johnson solid 30 net.png Pentagonal orthobicupola.png 20 40 22 10 10 2 D5h
31 異相双五角台塔
(pentagonal gyrobicupola)
Johnson solid 31 net.png Pentagonal gyrobicupola.png 20 40 22 10 10 2 D5d
32 同相五角台塔丸塔
(pentagonal orthocupolarotunda)
Johnson solid 32 net.png Pentagonal orthocupolarotunda.png 25 50 27 15 5 7 C5v
33 異相五角台塔丸塔
(pentagonal gyrocupolarotunda)
Johnson solid 33 net.png Pentagonal gyrocupolarotunda.png 25 50 27 15 5 7 C5v
34 同相双五角丸塔
(pentagonal orthobirotunda)
Johnson solid 34 net.png Pentagonal orthobirotunda.png 30 60 32 20 12 D5h
35 同相双三角台塔柱
(elongated triangular orthobicupola)
Johnson solid 35 net.png Elongated triangular orthobicupola.png 18 36 20 8 12 D3h
36 異相双三角台塔柱
(elongated triangular gyrobicupola)
Johnson solid 36 net.png Elongated triangular gyrobicupola.png 18 36 20 8 12 D3d
37 異相双四角台塔柱
(elongated square gyrobicupola)
ミラーの立体
Johnson solid 37 net.png Elongated square gyrobicupola.png 24 48 26 8 18 D4d 全ての
頂点形状
合同
38 同相双五角台塔柱
(elongated pentagonal orthobicupola)
Johnson solid 38 net.png Elongated pentagonal orthobicupola.png 30 60 32 10 20 2 D5h
39 異相双五角台塔柱
(elongated pentagonal gyrobicupola)
Johnson solid 39 net.png Elongated pentagonal gyrobicupola.png 30 60 32 10 20 2 D5d
40 同相五角台塔丸塔柱
(elongated pentagonal orthocupolarotunda)
Johnson solid 40 net.png Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png 35 70 37 15 15 7 C5v
41 異相五角台塔丸塔柱
(elongated pentagonal gyrocupolarotunda)
Johnson solid 41 net.png Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png 35 70 37 15 15 7 C5v
42 同相双五角丸塔柱
(elongated pentagonal orthobirotunda)
Johnson solid 42 net.png Elongated pentagonal orthobirotunda.png 40 80 42 20 10 12 D5h
43 異相双五角丸塔柱
(elongated pentagonal gyrobirotunda)
Johnson solid 43 net.png Elongated pentagonal gyrobirotunda.png 40 80 42 20 10 12 D5d
44 双三角台塔反柱
(gyroelongated triangular bicupola)
Johnson solid 44 net.png Gyroelongated triangular bicupola.png 18 42 26 20 6 D3 キラル
45 双四角台塔反柱
(gyroelongated square bicupola)
Johnson solid 45 net.png Gyroelongated square bicupola.png 24 56 34 24 10 D4 キラル
46 双五角台塔反柱
(gyroelongated pentagonal bicupola)
Johnson solid 46 net.png Gyroelongated pentagonal bicupola.png 30 70 42 30 10 2 D5 キラル
47 五角台塔丸塔反柱
(gyroelongated pentagonal cupolarotunda)
Johnson solid 47 net.png Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png 35 80 47 35 5 7 C5 キラル
48 双五角丸塔反柱
(gyroelongated pentagonal birotunda)
Johnson solid 48 net.png Gyroelongated pentagonal birotunda.png 40 90 52 40 12 D5 キラル
49 側錐三角柱
(augmented triangular prism)
Johnson solid 49 net.png Augmented triangular prism.png 7 13 8 6 2 C2v
50 二側錐三角柱
(biaugmented triangular prism)
Johnson solid 50 net.png Biaugmented triangular prism.png 8 17 11 10 1 C2v
51 三側錐三角柱
(triaugmented triangular prism)
デルタ十四面体
Johnson solid 51 net.png Triaugmented triangular prism.png 9 21 14 14 D3h デルタ
多面体
52 側錐五角柱
(augmented pentagonal prism)
Johnson solid 52 net.png Augmented pentagonal prism.png 11 19 10 4 4 2 C2v
53 二側錐五角柱
(biaugmented pentagonal prism)
Johnson solid 53 net.png Biaugmented pentagonal prism.png 12 23 13 8 3 2 C2v
54 側錐六角柱
(augmented hexagonal prism)
Johnson solid 54 net.png Augmented hexagonal prism.png 13 22 11 4 5 2 C2v
55 双側錐六角柱
(parabiaugmented hexagonal prism)
Johnson solid 55 net.png Parabiaugmented hexagonal prism.png 14 26 14 8 4 2 D2h
56 二側錐六角柱
(metabiaugmented hexagonal prism)
Johnson solid 56 net.png Metabiaugmented hexagonal prism.png 14 26 14 8 4 2 C2v
57 三側錐六角柱
(triaugmented hexagonal prism)
Johnson solid 57 net.png Triaugmented hexagonal prism.png 15 30 17 12 3 2 D3h
58 側錐十二面体
(augmented dodecahedron)
Johnson solid 58 net.png Augmented dodecahedron.png 21 35 16 5 11 C5v
59 双側錐十二面体
(parabiaugmented dodecahedron)
Johnson solid 59 net.png Parabiaugmented dodecahedron.png 22 40 20 10 10 D5d
60 二側錐十二面体
(metabiaugmented dodecahedron)
Johnson solid 60 net.png Metabiaugmented dodecahedron.png 22 40 20 10 10 C2v
61 三側錐十二面体
(triaugmented dodecahedron)
Johnson solid 61 net.png Triaugmented dodecahedron.png 23 45 24 15 9 C3v
62 二側錐欠損二十面体
(metabidiminished icosahedron)
Johnson solid 62 net.png Metabidiminished icosahedron.png 10 20 12 10 2 C2v
63 三側錐欠損二十面体
(tridiminished icosahedron)
Johnson solid 63 net.png Tridiminished icosahedron.png 9 15 8 5 3 C3v
64 側錐三側錐欠損二十面体
(augmented tridiminished icosahedron)
Johnson solid 64 net.png Augmented tridiminished icosahedron.png 10 18 10 7 3 C3v
65 側台塔切頂四面体
(augmented truncated tetrahedron)
Johnson solid 65 net.png Augmented truncated tetrahedron.png 15 27 14 8 3 3 C3v
66 側台塔切頂立方体
(augmented truncated cube)
Johnson solid 66 net.png Augmented truncated cube.png 28 48 22 12 5 5 C4v
67 双側台塔切頂立方体
(biaugmented truncated cube)
Johnson solid 67 net.png Biaugmented truncated cube.png 32 60 30 16 10 4 D4h
68 側台塔切頂十二面体
(augmented truncated dodecahedron)
Johnson solid 68 net.png Augmented truncated dodecahedron.png 65 105 42 25 5 1 11 C5v
69 双側台塔切頂十二面体
(parabiaugmented truncated dodecahedron)
Johnson solid 69 net.png Parabiaugmented truncated dodecahedron.png 70 120 52 30 10 2 10 D5d
70 二側台塔切頂十二面体
(metabiaugmented truncated dodecahedron)
Johnson solid 70 net.png Metabiaugmented truncated dodecahedron.png 70 120 52 30 10 2 10 C2v
71 三側台塔切頂十二面体
(triaugmented truncated dodecahedron)
Johnson solid 71 net.png Triaugmented truncated dodecahedron.png 75 135 62 35 15 3 9 C3v
72 側台塔回転斜方二十・十二面体
(gyrate rhombicosidodecahedron)
Johnson solid 72 net.png Gyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C5v
73 双側台塔回転斜方二十・十二面体
(parabigyrate rhombicosidodecahedron)
Johnson solid 73 net.png Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 D5d
74 二側台塔回転斜方二十・十二面体
(metabigyrate rhombicosidodecahedron)
Johnson solid 74 net.png Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C2v
75 三側台塔回転斜方二十・十二面体
(trigyrate rhombicosidodecahedron)
Johnson solid 75 net.png Trigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C3v
76 側台塔欠損斜方二十・十二面体
(diminished rhombicosidodecahedron)
Johnson solid 76 net.png Diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 C5v
77 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体
(paragyrate diminished rhombicosidodecahedron)
Johnson solid 77 net.png Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 C5v
78 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体
(metagyrate diminished rhombicosidodecahedron)
Johnson solid 78 net.png Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 Cs
79 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体
(bigyrate diminished rhombicosidodecahedron)
Johnson solid 79 net.png Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 Cs
80 双側台塔欠損斜方二十・十二面体
(parabidiminished rhombicosidodecahedron)
Johnson solid 80 net.png Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 D5d
81 二側台塔欠損斜方二十・十二面体
(metabidiminished rhombicosidodecahedron)
Johnson solid 81 net.png Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 C2v
82 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体
(gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron)
Johnson solid 82 net.png Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 Cs
83 三側台塔欠損斜方二十・十二面体
(tridiminished rhombicosidodecahedron)
Johnson solid 83 net.png Tridiminished rhombicosidodecahedron.png 45 75 32 5 15 9 3 C3v
84 変形双五角錐
(snub disphenoid)
デルタ十二面体
Johnson solid 84 net.png Snub disphenoid.png 8 18 12 12 D2d デルタ
多面体
85 変形四角反柱
(snub square antiprism)
Johnson solid 85 net.png Snub square antiprism.png 16 40 26 24 2 D4d
86 球形屋根
(sphenocorona)
Johnson solid 86 net.png Sphenocorona.png 10 22 14 12 2 C2v
87 側錐球形屋根
(augmented sphenocorona)
Johnson solid 87 net.png Augmented sphenocorona.png 11 26 17 16 1 Cs
88 長球形屋根
(sphenomegacorona)
Johnson solid 88 net.png Sphenomegacorona.png 12 28 18 16 2 C2v
89 広底長球形屋根
(hebesphenomegacorona)
Johnson solid 89 net.png Hebesphenomegacorona.png 14 33 21 18 3 C2v
90 五角錐球形屋根
(disphenocingulum)
Johnson solid 90 net.png Disphenocingulum.png 16 38 24 20 4 D2d
91 双三日月双丸塔
(bilunabirotunda)
Johnson solid 91 net.png Bilunabirotunda.png 14 26 14 8 2 4 D2h
92 三角広底球形屋根丸塔
(triangular hebesphenorotunda)
Johnson solid 92 net.png Triangular hebesphenorotunda.png 18 36 20 13 3 3 1 C3v

外部リンク[編集]