正四面体

正四面体

正四面体（せいしめんたい、せいよんめんたい、regular tetrahedron）は、4枚の合同な正三角形を面とする四面体である。

最も頂点・辺・面の数が少ない正多面体であり、最も頂点・辺・面の数が少ないデルタ多面体であり、アルキメデスの正三角錐である。また、3次元の正単体である。

なお一般に、n 面体のトポロジーは一定しないが、四面体だけは1種類のトポロジーしかない。つまり、四面体は全て、正四面体と同相であり、正四面体の辺を伸ばしたり縮めたりしたものである。

性質

正四面体のペトリー多角形

立方体の中の正四面体（アニメGIF）

正四面体の対称性

• シュレーフリ記号は {3,3}。
• 面の数は4、辺の数は6、頂点の数は4。これらは全て多面体で最少である。
• 自らと双対である（自己双対多面体）。
• 対角線は存在しない。
• ペトリー多角形は正方形である。
• 立方体 (±1, ±1, ±1) の4つの頂点 (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) を結べば、正四面体になる。
• 正四面体の辺の中点を結べば、正八面体になる。逆に正八面体の互い違いの4面を延長すると、正四面体になる。
• 展開図は2通りあり、一方は正三角形、もう一方は平行四辺形になる。

対称性

対称性は、

• 中心と頂点を通る直線について3回対称
• 中心と辺の中点を通る直線について4回反対称、したがって線対称（2回対称）
• 中心と辺を通る面について面対称

などである。

計量

辺の長さを $a\,$ とする。

面の面積	$A = {\sqrt{3}\over4} a^2$	$\approx 0.433012702 a^2$
表面積	$S = 4 A = \sqrt 3 a^2$	$\approx 1.732050808 a^2$
高さ	$h = \sqrt \frac 2 3 a$	$\approx 0.816496581 a$
体積	$V = \frac 1 3 A h ={\sqrt{2}\over12}a^3$	$\approx 0.117851130 a^3$
辺と面のなす角	$\tan ^{-1} \sqrt 2$	$\approx 54.735610 ^\circ$
二面角	$\cos ^{-1} \frac 1 3 = \tan ^{-1} \sqrt 8$	$\approx 70.528779 ^\circ$
中心と頂点を結ぶ直線のなす角	$\frac \pi 2 + \sin ^{-1} \frac 1 3$	$\approx 109.471221 ^\circ$
頂点の立体角	$3 \cos ^{-1} \frac 1 3 - \pi$	$\approx 0.551285598 \ \mathrm{ sr }$
外接球（頂点を通る球）の半径	$R = \sqrt \frac 3 8 a$	$\approx 0.612372436 a$
内接球（面と接する球）の半径	$r = {1\over3} R = {1\over\sqrt{24}} a$	$\approx 0.204124145 a$
中接球（辺と接する球）の半径	$r _ \mathrm M = \sqrt { r R } = {1\over\sqrt{8}} a$	$\approx 0.353553391 a$
Radius of exspheres	$r _ \mathrm E = {1\over\sqrt{6}} a$	$\approx 0.408248290 a$
Distance to exsphere center from a vertex	$\sqrt \frac 3 2 a$	$\approx 1.224744871 a$

正四面体から作られる図形

• 切頂する → 切頂四面体
• 2つを重ね合わせる → 星型八面体
• 2つを貼り合わせる → デルタ六面体
• 5つを4次元空間内で貼り合わせる → 正五胞体