カタランの立体

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カタランの立体 (Catalan solid) は、半正多面体(アルキメデスの立体)の双対である。アルキメデス双対 (Archimedean dual) とも言う。半正多面体が13種類あるため、カタランの立体も13種類ある。

カタランとは、ベルギー数学者ウジェーヌ・カタラン (Eugène Charles Catalan) のことで、1865年にこの図形について最初に記述した。

性質[編集]

半正多面体の双対であることから、多くの性質は半正多面体の性質と対応している。

半正多面体は頂点形状合同であるため、カタランの立体はが合同である。ただし、半正多面体は2種類の面を持つため、カタランの立体の面は正多角形ではなく、したがって、一様多面体ではない。

半正多面体のの長さが等しいことより、カタランの立体は全ての二面角が等しい。

半正多面体同様、2種類はカイラルで、鏡像の区別がある。

一覧[編集]

名前 投影図 動画 双対



面の形状 対称性
三方四面体 Triakistetrahedron.jpg Triakistetrahedron.gif 切頂四面体 12 18 8 二等辺三角形
V3.6.6
Td
菱形十二面体 Rhombic dodecahedron Rhombicdodecahedron.gif 立方八面体 12 24 14 菱形
V3.4.3.4
Oh
三方八面体 Triakisoctahedron.jpg Triakisoctahedron.gif 切頂六面体 24 36 14 二等辺三角形
V3.8.8
Oh
四方六面体 Tetrakishexahedron.jpg Tetrakishexahedron.gif 切頂八面体 24 36 14 二等辺三角形
V4.6.6
Oh
凧形二十四面体 Deltoidalicositetrahedron.jpg Deltoidalicositetrahedron.gif 斜方立方八面体 24 48 26 凧形
V3.4.4.4
Oh
六方八面体 Disdyakisdodecahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.gif 斜方切頂立方八面体 48 72 26 三角形
V4.6.8
Oh
五角二十四面体 Pentagonalicositetrahedronccw.jpgPentagonalicositetrahedroncw.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.gifPentagonalicositetrahedroncw.gif 変形立方体 24 60 38 2辺と3辺が等しい五角形
V3.3.3.3.4
O
菱形三十面体 Rhombictriacontahedron.svg Rhombictriacontahedron.gif 二十・十二面体 30 60 32 菱形
V3.5.3.5
Ih
三方二十面体 Triakisicosahedron.jpg Triakisicosahedron.gif 切頂十二面体 60 90 32 二等辺三角形
V3.10.10
Ih
五方十二面体 Pentakisdodecahedron.jpg Pentakisdodecahedron.gif 切頂二十面体 60 90 32 二等辺三角形
V5.6.6
Ih
凧形六十面体 Deltoidalhexecontahedron.jpg Deltoidalhexecontahedron.gif 斜方二十・十二面体 60 120 62 凧形
V3.4.5.4
Ih
六方二十面体 Disdyakistriacontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.gif 斜方切頂二十・十二面体 120 180 62 三角形
V4.6.10
Ih
五角六十面体 Pentagonalhexecontahedronccw.jpgPentagonalhexecontahedroncw.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.gifPentagonalhexecontahedroncw.gif 変形十二面体 60 150 92 2辺と3辺が等しい五角形
V3.3.3.3.5
I