五角形

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正五角形

五角形(ごかくけい、ごかっけい、: pentagon)は、5つの頂点を持つ多角形の総称。

正五角形[編集]

正五角形は、各辺の長さが等しく、内角も108°(中心角72°)と一定な五角形である。辺の長さを a とすると

面積
A = \frac{5a^2}{4}\cot\frac{\pi}{5} = \frac{a^2}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}} \simeq 1.72048 a^2
内接円の半径
r = \frac{a}{2}\cot\frac\pi{5}
外接円の半径
R = \frac{a}{2}\csc\frac\pi{5}

正五角形の作図[編集]

定規とコンパスによる作図例

正五角形(regular pentagon)は定規とコンパスによる作図が可能である。以下に示すのは古典的な方法の一つである。

(1) (2) (3) (4)
(1) (2) (3) (4)
  1. 直線上の一点Oを中心にとった円を描画し、直線と交わる二点をA, Bとする。ABの垂直二等分線、およびOAの垂直二等分線を作図する。
  2. OAとその垂直二等分線が交わる点をC、円OとABの垂直二等分線が交わる点のうち一つをDとする。CDを半径にとり、Cを中心にDからABまで弧を描画する。弧とABが交わる点をEとする。
  3. DEを半径にとり、Dを中心に弧を描画する。弧が円Oと交わる二点をF, Gとする。
  4. 同じ半径のままF, Gを中心とした弧を描画する。これらの弧が円Oと交わる五点D, F, G, I, Hを結ぶ図形が正五角形である。

定理[編集]

正五角形の対角線(五芒星)
  • 正五角形の一辺と対角線とのは、黄金比に等しい。
  • 正五角形の交わる対角線は、互いに他を黄金比に分ける。
  • 対角線の長さが互いに全て等しい正多角形は、正五角形と正四角形のみである。

その他五角形に関する事項[編集]

紙片の結び目と正五角形 紙片の結び目と正五角形
紙片の結び目と正五角形

脚注[編集]

  1. ^ 「日研」新聞編集委員会 編(1991):184ページ

参考文献[編集]

  • 高木貞治『数学小景』岩波書店〈岩波現代文庫〉、2002年。ISBN 4006000812
  • 「日研」新聞編集委員会 編『茨城108景をめぐる』川崎松濤 監修、筑波書林、平成3年9月20日、219pp.