二面角

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二面角(にめんかく、dihedral angle)は、2つの平面(またはその部分集合)がなす角度である。たとえば、二面角が0なら2面は平行(同一の場合を含む)で、π/2(90°)なら垂直である。

二面角は、法線同士の角度として定義される。つまり、2面の法線ベクトルabとすると二面角φは

 | \mathbf a | | \mathbf b | \cos \phi = \mathbf a \cdot \mathbf b

で表せる。cosを取っているため、二面角は2π(360°)の周期性を別にしても一意には決まらないが、通常は0~π(180°)の範囲で表す。ただし、多面体など内側と外側を区別する場合は、0~360°の範囲で表す。また、内側・外側も面の向きも区別しない場合は、

 | \mathbf a | | \mathbf b | \cos \phi = | \mathbf a \cdot \mathbf b |

絶対値を取り、0~π/2(90°)の範囲で表す。2つの平面は鋭角鈍角の2つの角度を為すので、そのうち鋭角のほうを取っていることになる。

二面角は、2面に垂直な平面(平行移動自由度を残して決まる)での断面内で考えると、通常の直線同士の角度に還元できる。面の断面は直線なので、断面の2直線がなす角度が2面の二面角である。

二面角は、3つの(でない)ベクトルabcに対しても定義でき、面ab(ベクトルaとベクトルbを含む面)と面bcの二面角を考える。また、4つの(異なる)点A・B・C・Dについても、面ABCと面BCDの二面角を考える。面ABCと面BCDの二面角が0でない場合、直線ABと直線CDはねじれの位置にある。このため、ねじれ角torsion angle)ともいう。

多面体[編集]

多面体では、で隣り合う2面の二面角を考える。(単に二面角といった場合は、それ以外の二面角は無視する)

凸多面体は、全ての二面角が180°未満の多面体であると定義される。

正多面体と準正多面体(半正多面体の特殊例)は、全ての二面角が等しい。このほかに、それらの変形(立方体の変形の直方体など)でもそれは成り立つ。

化学結合[編集]

化学では、原子がA-B-C-Dと結合しているときの二面角が、立体配座を決定する要素のひとつとして重要である。

結合距離結合角に比べ自由度が大きいため、特に比較的大きな有機化合物においては全体構造を決定する重要な要素である。