幾何ベクトル

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幾何ベクトル（きかベクトル）とは、大きさと向きを持った量である。単にベクトル（ドイツ語 Vector、英語 vector）とも呼ぶが、これを線形代数的に一般化した概念である一般のベクトル（ベクトル空間の元）と区別する必要があるときに、幾何ベクトルと呼ぶ。英語での発音からベクタ、ベクターともいう。

例えば、速度や加速度、力はベクトルである。平面上や空間内の矢印（有向線分）として幾何学的にイメージされる。ベクトルという用語はハミルトンによってスカラーなどの用語ととともに導入された。スカラーはベクトルとは対比の意味を持つ。

この記事では、ユークリッド空間内の幾何ベクトル、とくに 3次元のものについて扱い、部分的に一般化・抽象化された場合について言及する。本項目で特に断り無く空間と呼ぶときは、3次元実ユークリッド空間のことを指す。

[編集] 概要

点 S を始点とし、点 T を終点とする有向線分

空間内に二つの点 S と T をとり、S から T へ向かう線分を有向線分と呼ぶ。S を始点（してん、initial point, source, しっぽ）、T を終点（しゅうてん、terminal point, target, あたま）と呼び、向きの区別のために終点 T の側の端に山を書いて線分を矢印にする。

互いに同じ向きに平行な長さの等しい有向線分に対応するベクトルは互いに等しい

ある点 S に向きと大きさをもった量 v が作用しているとき、v の作用と同じ向きで、長さが v の作用の大きさに比例するように有向線分 $\overrightarrow{ST}$ をとって v を

$\mathbf{v} = \overrightarrow{ST}$

と表現する。別の点 S′ に同じように v の作用の向き、大きさにあわせて有向線分 $\overrightarrow{S'T'}$ をつくるとこれらは互いに平行 $(\overrightarrow{ST} || \overrightarrow{S'T'})$ になるが、これも元の量 v を表すものとして

$\mathbf{v} = \overrightarrow{S'T'}$

と記し、同じものとみなすというのが向きと大きさを持った量というベクトルの概念の幾何学的な表現（幾何学的ベクトル）である。

ベクトルのスカラー倍

あるベクトル a と同じ方向で大きさの比率（スカラー）が k であるようなベクトルを ka と表す。また、a と同じ大きさで逆の向きをもつベクトルは −a と表す。同様に、a と逆の向きをもち大きさの比率が k であるようなベクトルは −ka と記す。これをベクトル a のスカラー k 倍あるいは単にスカラー倍（スカラー乗法）と呼ぶ。

ベクトルの和

二つのベクトル a, b の和 a + b を、それらの始点を合わせたときにできる平行四辺形の（始点を共有する）対角線に対応するベクトルと定める（三つ以上のベクトルの和も、二つの和をとる演算から帰納的に定める）。a, b がどんなものであっても a + b = b + a が成り立っていることに注意されたい。

また逆に、あるベクトルを二つ（以上）の異なるベクトルの和に分解することができる。とくにxyz-空間の各軸の方向で長さ 1 の有向線分に対応するベクトル（基本ベクトル、単位ベクトル）を x, y, z の各軸でそれぞれ i, j, k と置くと、任意のベクトル v は

$\mathbf{v} = v_x \mathbf{i} + v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k}$

の形に表せる。ここで、ピタゴラスの定理を用いると、ベクトル v の大きさ ||v|| は

$||\mathbf{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

によって求まる。

ベクトルの始点を xyz-座標系の原点に合わせると、任意のベクトルはその終点の座標によって一意的に表すことができる：

$\mathbf{v} := v_x \mathbf{i} + v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k} \leftrightarrow (v_x, v_y, v_z) =: P(\mathbf{v}).$

このとき、空間内の点 Q に対して Q = P(v) となるベクトル v を点 Q の位置ベクトルと呼ぶ。

[編集] 数ベクトル

座標系を指定して、位置ベクトルとして解析的な表示を与えることにより、自然に数ベクトルの概念が導かれる。数ベクトルは、数（実数や複素数、有理数などから一種類選んで固定する）を並べたものである。空間ベクトルに対応する数ベクトルは 3 次元数ベクトルと呼ばれる。

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$

数ベクトル a に対して、a₁, a₂, a₃ を数ベクトルの要素または成分 (element) と呼ぶ。横に並べた数ベクトルを横ベクトルまたは行ベクトル。縦に並べた数ベクトルを縦ベクトルまたは列ベクトルと呼ぶ。上の例では、a は行ベクトル、b は列ベクトルである。数ベクトルの要素が全て 0 の数ベクトルを零ベクトルと呼ぶ。対して零ベクトルでないベクトルを非零ベクトルと呼ぶ。

幾何学的ベクトルの演算を対応する数ベクトルの性質として書き直すことができる。同じ次元の数ベクトルの和（差）を、要素同士の和（差）と定める。例えば、

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

の時に、和 a + b と、差 a − b は

$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4+1 \\ 5+2 \\ 6+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix},$

$\mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4-1\\ 5-2 \\ 6-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

となる。

c を普通の数（スカラー）とする。ベクトルのそれぞれの要素を c 倍することで、スカラー倍が定義できる。例として上記の a を使って

$8 \mathbf{a} = 8 \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\times 4 \\ 8\times 5 \\ 8\times 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 32 \\ 40 \\ 48 \end{pmatrix}$

などの計算が成り立つ。

[編集] ベクトルの積

ベクトルとスカラーの積についてはすでに述べたが、ベクトル同士の積には、内積・外積という2つの異なる演算がある。

内積は $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ と表し、結果は（次元にかかわらず）スカラーである。そのため、ドット積、スカラー積とも呼ばれる。

外積は $\mathbf{x} \times \mathbf{y}$ と表し、結果は（3次元空間では）ベクトルである。そのため、クロス積、ベクトル積とも呼ばれる。ただし、外積は外積代数では $\mathbf{x} \wedge \mathbf{y}$ と表す。

また、ベクトル3つの積としてはスカラー3重積 $[\mathbf{x}\mathbf{y}\mathbf{z}] = \mathbf{x} \cdot (\mathbf{y} \times \mathbf{z})$ とベクトル3重積 $\mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z})$ がある。

[編集] 内積

詳細はドット積を参照。

一般のベクトル空間における内積は内積を参照

同じ次元の数ベクトルの内積を、要素同士の積の総和と定める。x と y の内積を x · y などと記す。内積は

$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \mathbf{x}^\mathrm{T} \mathbf{y}$

と行列の積を用いて表示することもできる。ここで x^T は x を一列だけの行列（列ベクトル）と見なして転置することを意味する。

先ほどの例と同じ a, b を用いると、a · b は、

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 \times 1 + 5 \times 2 + 6 \times 3 = 32$

となる。

[編集] 外積

詳細はクロス積を参照。

[編集] 一般化

線型代数学では、矢印のベクトルや数ベクトルはもっと抽象化され、線型代数学の根底をなす概念の一つである。ベクトルとは単にベクトル空間の元のことになる。つまりベクトルには和とスカラー倍が定義されていることだけが問題とされる。しかし、基底を媒介にして、一般的なベクトルは数ベクトルとして扱うことが出来る：つまり、基底 {e₁, e₂, ..., e_n} を固定したとき、任意のベクトル v は基底の1次結合として

$\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{e}_i = a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 +\cdots+ a_n \mathbf{e}_n$

のように表すことができる。このとき、v を係数を並べたベクトル

$(a_1, a_2, \ldots, a_n)$

と同一視することで、基底の定められたベクトルは数ベクトルとして扱える。数ベクトル a の要素数を次元と呼び、次元 n の数ベクトルを n 次元数ベクトルと呼ぶ。n 次元数ベクトル全体の集合を n 次元数ベクトル空間という。しばしば数ベクトルは n 行 1 列もしくは 1 行 n 列の行列として扱われる。