凸集合

凸集合とは、ユークリッド空間において、集合の任意の二点を結ぶ線分が集合に含まれるような集合をいう。

たとえば、立方体は、凸集合であるが、へこみのあるような集合は凸集合ではない。

凸集合 [編集]

C を実、または複素ベクトル空間とする。C が凸集合であるとは、C に含まれる任意の x , y と、区間[0,1]に含まれる任意の t について、点

(1 − t) x + t y

が、C に含まれることを言う。言い換えれば、x と y を結ぶ線分が C に含まれることである。

凸集合は連結である。

実数Rの凸集合は、区間である。正多面体は凸集合であり、星型正多面体は凸集合ではない。