リースの拡張定理

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数学におけるリースの拡張定理(リースのかくちょうていり、: M. Riesz extension theorem)とは、モーメント問題英語版の研究の際にリース・マルツェルによって証明されたある定理のことを言う[1][2]

定理の内容[編集]

Eベクトル空間とし、F ⊂ E をその部分ベクトル空間とする。また K ⊂ E をある凸錘英語版とする。

線型汎函数 φF → RK-正(K-positive)であるとは、錘 K 内のすべての点に対してそれが 0 以上の値を返すこと、すなわち、次を満たすことを言う:

\phi(x) \geq 0 \quad \text{for} \quad x \in F \cap K.

線型汎函数 ψE → RφK-正拡張(K-positive extension)であるとは、それが φ の定義域においては φ に等しく、錘 K 内のすべての点に対して 0 以上の値を返すこと、すなわち、次を満たすことを言う:

\psi|_F = \phi \quad \text{and} \quad \psi(x) \geq 0\quad \text{for} \quad x \in K.

一般に F 上の K-正線型汎函数は、E 上の K-正線型汎函数に拡張できるとは限らない。二次元の場合、そのような反例として、x-軸の負の開区間を除いた上半平面として K を取る場合が挙げられる。このとき F が実軸であるなら、正の線型汎函数 φ(x, 0) = x はその平面上の正の汎函数へ拡張することは出来ない。

しかし、次の仮定の下ではそのような拡張は存在する:すべての y ∈ E に対して、y − x ∈K を満たすある xF が存在する。すなわち、E = K + F である。

証明[編集]

超限帰納法により、dim E/F = 1 の場合のみを考えれば十分である。

ある y ∈ E/F を選ぶ。汎函数

 
\psi|_F = \phi, \quad 
\psi(y) = \sup \left\{ \phi(x) \, \mid \, x \in F, \, y - x \in K \right\}

を定め、線型性によって ψE へ拡張する。ψK-正であることを示す。

K 内のすべての点 z は、x ∈ F に対し、x + y あるいは x − y のいずれかの正の線型倍である。一つ目の場合、z = a(y + x) となるので、y− (x) = z/a  は K に属するとともに −x  は  F  に属する。したがって

 \psi(y) \geq \psi(-x) = - \psi(x)

となり、ψ(z) ≥ 0 である。二つ目の場合、z = a(x − y) なので、y = x − z/a となる。今、z1 = y − x1 ∈ K および ψ(x1) ≥ ψ(y) − ε を満たすものとして x1 ∈ F を定める。このとき

 \psi(x) - \psi(x_1) = \psi(x-x_1) = \psi(z_1 + z/a) = \phi(z_1 + z/a) \geq 0~,

であり、したがって ψ(z) ≥ −a ε である。これは任意の ε > 0 に対して成立するため、ψ(z) ≥ 0 となる。

系:クレインの拡張定理[編集]

E線型空間とし、K ⊂ E をある凸錘英語版とする。R x + K = E を満たすものとして x ∈ E/(−K) を定める。このとき、ある K-正線型汎函数 φE → R が存在して φ(x) > 0 となる。

ハーン=バナッハの定理との関係[編集]

ハーン=バナッハの定理は、リースの拡張定理より導出することが出来る。

V を線型空間とし、NV 上のある劣線型函数とする。φ はある部分空間 U ⊂ V 上の汎函数で、N によって支配されるものとする。すなわち

 \phi(x) \leq N(x), \quad x \in U

が成立するものとする。ハーン=バナッハの定理では、この φN によって支配される V 上のある線型汎函数へ拡張できることが主張されている。

この事実をリースの拡張定理より導くために、凸錘 K ⊂ R×V を次のように定める。

 K = \left\{ (a, x) \, \mid \, N(x) \leq a \right\}.

R×U 上の汎函数 φ1 を次で定める。

 \phi_1(a, x) = a - \phi(x).

φ1K-正であり、K + (R × U) = R × V となることが分かる。したがって φ1R×V 上の K-正汎函数 ψ1 に拡張することが出来る。このとき

 \psi(x) = - \psi_1(0, x)

が求める φ の拡張である。実際、ψ(x) > N(x) であるなら (N(x), x) ∈ K が得られるが、これは

 \psi_1(N(x), x) = N(x) - \psi(x) < 0

となり、矛盾が生じる。

注釈[編集]

参考文献[編集]