F-空間

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関数解析学におけるF-空間(F-くうかん、英語: F-space)とは、あるいは複素ベクトル空間であって、次を満たすような距離 d : V × VR の定められているもののことを言う:

  1. V でのスカラー乗法は、距離 d および R (あるいは C )上の標準距離について連続である。
  2. V での加法は、距離 d について連続である。
  3. 距離 d平行移動不変英語版である。すなわち、V 内の任意の xy および a に対して d(x + a, y + a) = d(x, y) が成立する。
  4. 距離空間 (V, d) は完備である。

この空間はフレシェ空間と呼ばれることもあるが、その呼び名はふつう局所凸英語版なF-空間に対して用いられるものである。その空間での距離は、F-空間上で構成されたものの一部では必ずしもない。多くの研究者は、そのような空間に対して上の性質が成り立つような方法で距離化可能であることを要求するのみである。

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明らかにすべてのバナッハ空間およびフレシェ空間はF-空間である。ただし、あるバナッハ空間は d(αx, 0) = |α|⋅d(x, 0) と決めた上でF-空間となる[1]

Lp空間はすべての p > 0 に対してF-空間であり、p ≥ 1 に対しては局所凸であるためフレシェ空間であり、実際バナッハ空間ですらある。

例1[編集]

\scriptstyle L^\frac{1}{2}[0,\, 1] はF-空間である。その空間は連続なセミノルムも連続な線型汎関数も認めず、自明な双対空間を持つ。

例2[編集]

\scriptstyle W_p(\mathbb{D}) を、単位円板 \scriptstyle \mathbb{D} 上の複素数値テイラー級数

f(z)=\sum_{n \geq 0}a_n z^n

\sum_{n}|a_n|^p < \infty

を満たすようなものからなる空間とする。このとき、0 < p < 1 に対して \scriptstyle W_p(\mathbb{D}) は p-ノルム

\|f\|_p= \sum_{n}|a_n|^p \qquad (0 < p < 1)

のもと、F-空間となる。実際、\scriptstyle W_p準バナッハ環英語版である。さらに、\scriptstyle |\zeta| \;\leq\; 1 を満たすような任意の \scriptstyle \zeta に対して、写像 \scriptstyle f \,\mapsto\, f(\zeta)\scriptstyle W_p(\mathbb{D}) 上で有界線形(乗法的汎関数)となる。

参考文献[編集]

  1. ^ Dunford N., Schwartz J.T. (1958). Linear operators. Part I: general theory. Interscience publishers, inc., New York. p. 59