ユニタリ作用素

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数学、特に関数解析学におけるユニタリ作用素(ユニタリさようそ、英語:Unitary operator)とは、複素ヒルベルト空間上の線形作用素の一種で、全単射かつ計量metric, 長さや角度、内積ノルム)を変えないものをさす。特に全単射でない場合は等長作用素といい、区別される。物理学の文脈ではユニタリ演算子(ユニタリえんざんし)と呼ばれる。

定義[編集]

エルミート内積 (·, ·) を持つヒルベルト空間(必ずしも有限次元でない複素計量ベクトル空間) H 上の全単射な線型作用素 U が内積を保つとき、すなわち φ, ψ が H のベクトルであれば常に

(U(φ), U(ψ)) = (φ, ψ)

が成り立つとき、Uユニタリ作用素という。これはエルミート共役をとる対合 * を用いて

 U^* U = U U^* = \mathrm{Id}

と書いても同じことである。但し Id は恒等作用素である。

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ユニタリ行列
有限次元複素計量ベクトル空間 V と通常のエルミート内積を考えると、V 上の線型変換は n 次の正方行列として表される。また、エルミート共役は変換行列の随伴行列として得られる。したがって、変換 M がユニタリであるとは、
M*M = M M* = E
を満たすような行列のことである(ただし、 En 次の単位行列)。これをユニタリ行列と呼ぶ。実ユニタリ行列は実直交行列である。

性質[編集]

ユニタリ演算子のすべての固有値(あるいはユニタリ行列の行列式の値)は、絶対値が 1 の複素数となる。

これは、ユニタリ演算子を行列として固有値問題を考え、固有ベクトルを φ, 固有値を ε とすると、

 U \phi \,= \epsilon \phi

となる。この時、上式の両辺のエルミート共役をとると左辺は、

 (U \phi)^* U \phi \,= \phi^* (U^* U \phi) = \phi^* \phi (U*U = 1より)

となり、右辺は、

 (\epsilon \phi)^* \epsilon \phi \,= \epsilon^* \epsilon \phi^* \phi

となる(ε と φ は交換可能)。このため左辺 = 右辺のためには、ε*ε = 1 でなければならず、固有値の絶対値は 1 となる。