ユニタリ行列

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ユニタリ行列(~ぎょうれつ、英語: Unitary matrices)は、次を満たす複素正方行列 U として定義される。

U^* U = UU^* = I \,

ここで、I単位行列U* は行列 U随伴行列(UT)。

なお、実数で構成されるユニタリ行列は直交行列に等しく直交行列を複素数体へ拡張したものがユニタリ行列とも言える。

U^* U = \overline{U}^T U = I \,

性質[編集]

  • 正方行列である
  • 正規行列である。
  • 任意のベクトルxに対しユニタリ行列による変換は等長変換(isometry)である。 ||Ux|| = ||x||
  • 逆行列U-1 = U*
  • 固有値の絶対値は1。 |λ| = 1 (つまり、すべての固有値は複素平面の単位円上に存在する)
(証明) Ux = λx なるλが固有値。(Ux)*Ux = (λx)*λx = λ2||x||2 また (Ux)*Ux = x*U* Ux = x*Ix = ||x||2
(証明) 1 = det(I) = det(UU*) = det(U)det(UT) = det(U)det(U) = det(U)det(U) = |det(U)|2

同値条件[編集]

以下の条件は、複素正方行列 U がユニタリ行列であることと同値である

  1. 行列 U は UU* = I を満たす
  2. 行列 U* は UU* = I を満たす
  3. 行列 U は正則行列で U–1 = U* を満たす
  4. 行列 U の列は正規直交基底である
  5. 行列 U の行は正規直交基底である
  6. 行列 U は等長写像である
  7. 行列 U は単位円上に固有値をもつ正規行列である

関連項目[編集]