ユニタリ群

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群論
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群論

n 次のユニタリ群(ユニタリぐん、: unitary group) U(n) とは、nユニタリ行列のなすのことである。演算行列の積で与えられる。

ユニタリ群は一般線型群部分群である。

定義[編集]

複素数体上のユニタリ群[編集]

\begin{align}
\operatorname{U}(n) 
 &= \{\, U \in \operatorname{GL}(n,\mathbb{C}) \mid \forall x, y \in \mathbb{C}^n : \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle \,\} \\
 &= \{\, U \in \operatorname{GL}(n,\mathbb{C}) \mid U^\dagger U = I_n \,\}
\end{align}

ここで GL(n, C) は一般線型群、〈-, -〉はエルミート形式、†はエルミート共役である。

つまりユニタリ群の元は有限次複素線型空間のエルミート形式を―したがってノルムを―保つ。これは「絶対値が 1 の複素数」の線型変換における類似物である[1]

一般の体上のユニタリ群[編集]

ユニタリ群は一般の上では次のように定義される。 基礎体 K の2次拡大体 L をとる。 線型空間 V = Ln 上のエルミート形式

 \langle x, y \rangle = x_1 \overline{y_1} + \dotsb + x_n \overline{y_n} \qquad \big(x = (x_i),\ y = (y_i) \in V\big)

(ここで \overline{y_i}代数共役を表す) を不変に保つ V 上の線型自己同型写像のなす群を U(n, K, L) と表し、これをユニタリ群という。

 \operatorname{U}(n, K, L) = \{\, U \in \operatorname{GL}(n, L) \mid \forall x, y \in V : \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle \,\}

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4元体F4 = {0, 1, ω, ω2} とする。 ただし演算は関係式 ω2 + ω + 1 = 0 から定める。 このとき U(2, F2, F4) は位数18の群で次の2元から生成される。

 
\operatorname{U}(2, \mathbb{F}_2, \mathbb{F}_4) = \Big\langle 
\begin{pmatrix} \omega & \omega \\ 0 & \omega \end{pmatrix},\ 
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \Big\rangle

性質[編集]

複素数体上のユニタリ群は以下の性質を満たす。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Finite-Dimensional Vector Spaces (Paul R. Halmos) §59