ラグランジュの定理 (群論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

群論において、ラグランジュの定理英語:Lagrange's theorem)とは、次のような定理である。

G有限群とし、HG部分群とする。このとき、H位数は、G の位数を割り切る。

実は、任意の群に対し、(選択公理を認めれば)指数を用いて次のような式が成り立つ。

|G| = [G:H] ・ |H|

[編集]

ラグランジュの定理には、次のようながある。

G が有限群のとき、G の任意の元の位数は、G の位数を割り切る。

証明は、その元で生成される巡回群を考えればよい。

歴史[編集]

ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]