自己同型

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数学では、自己同型(automorphism)は、数学的対象から自分自身への同型のことを言う。ある意味では、対象の対称性であり、構造を全て保存するときの対象をそれ自身へ写像する方法である。対象の全ての自己同型の集合は、を形成し、自己同型群(automorphism group)と呼ばれる。大まかにいえば、自己同型は、対象の対称群である。

定義[編集]

自己同型の正確な定義は、問題の「数学的対象」の種類、何が正確に対象の「同型」を構成するのかへ依存する。これらの言葉が意味を持つ最も一般的な設定は、圏論と呼ばれる数学の抽象的な分野である。圏は、抽象的な対象(object)とそれらの対象の間の(morphism)を扱う。圏論では、(圏論的な意味で)同型でもあるような自己準同型(つまり、対象から対象自身への射(morphism)である)である。

圏論では、射は函数である必要もないし、対象は集合である必要もないので、この定義は非常に抽象的定義である。しかし、より具体的な設定では、対象はある加法構造を持つであろうし、射はこの構造を保つであろう。

抽象代数学の脈絡では、例えば、数学的対象は、ベクトル空間といった数学的対象である。この場合は、同型は単に、全単射準同型である。(準同型の定義は代数構造の種類に依存する、例えば、群準同型環準同型英語版(ring homomorphism)、線型作用素を参照。)

恒等写像(identity morphism, identity mapping)は、ある脈絡では、自明な自己同型(trivial automorphism)と呼ばれる。他の(同一視ではない)自己同型は非自明な自己同型(nontrivial automorphisms)と呼ばれる。

自己同型群[編集]

(固有な(class)の代わりに、)対象 X の自己同型が集合を形成すると、この集合は写像合成(composition)の下に、をなす。この群を X の自己同型群(automorphism group)と呼ぶ。これが群をなすことは、次を確認すると分かる。

  • 閉包英語版(Closure):自己準同型が二項関係について閉じていること、2つの自己準同型の合成が他の自己準同型となっていること。
  • 結合法則(Associativity): 射の合成は常に結合的である。
  • 単位元(Identity): 単位元は、定義されている対象からそれ自身への同一視写像のことである。
  • 逆元(Inverses): 定義により、全ての同型は逆元を持ち、逆元も同型となる。逆元も同一の対象の準同型であるから同型となる。

圏 C の対象 X の自己同型群は、AutC(X) あるいは、圏が前後関係より明らかな場合は、単に Aut(X) と書く。

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  • 集合論では、集合 X 上の任意の置換は、自己同型である。X の自己同型群は、X の対称群とも呼ばれる。
  • 基礎的な数論英語版(elementary arithmetic)では、整数の集合 Z は加法の下の群と考えられ、一意に非自明な自己同型を持つ。と考えた場合はそうではない、しかし、自明な自己同型しか持たない。一般的に、一意に非自明な自己同型を持つ場合は任意のアーベル群の自己同型であり、環や体では自明な自己同型しかない。
  • 群の自己同型は、群からそれ自身への群同型である。非公式に言うと、構造を変化させない群上の置換である。すべての群 G に対して、内部自己同型英語版(inner automorphism)の群 Inn(G) となり、が G の中心となるような、自然な作用をもつ準同型 G → Aut(G) が存在する。従って、G が自明英語版(trivial)な中心を持つならば、G を G 自身の自己同型群に埋め込むことができる。[1]


内部自己同型と外部自己同型[編集]

あるカテゴリ、とりわけリー代数では、自己同型を「内部自己同型」と「外部自己同型」の 2つのタイプに分けることができる。

群の場合、内部自己同型英語版(inner automorphism)は、その群の元による共役作用である。群 G の各元 a に対し、a による共役とは  \varphi_a (g) = a g a^{-1} (もしくは、a−1ga 、使い道により異なる)により与えられる作用 φa : G → G のことである。容易に、a による共役が群の自己同型であることが分かる。内部自己同型全体は Aut(G) の正規部分群であり、これを Inn(G) で表す。これをグールサの補題英語版(Goursat's lemma)という。

これ以外の自己同型を外部自己同型英語版(outer automorphism)と呼ぶ。商群(quotient group) Aut(G) / Inn(G) を普通、Out(G) で表し、非自明な元は外部自己同型を含む剰余類である。

同様の定義が、任意の体上の代数(algebra)についても成り立つ。ここに a は可逆元とする。リー代数に対しては、定義は少し異なる。

参照項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ PJ Pahl, R Damrath (2001). “§7.5.5 Automorphisms”. Mathematical foundations of computational engineering (Felix Pahl translation ed.). Springer. p. 376. ISBN 3-540-67995-2. http://books.google.com/?id=kvoaoWOfqd8C&pg=PA376. 
  2. ^ Yale, Paul B. (May 1966). “Automorphisms of the Complex Numbers”. Mathematics Magazine 39 (3): 135–141. doi:10.2307/2689301. JSTOR 2689301. http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/PaulBYale.pdf. 
  3. ^ Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 22–23, ISBN 0-521-00551-5 

外部リンク[編集]