特殊ユニタリ群

n次の特殊ユニタリ群（とくしゅユニタリぐん、special unitary group）SU(n) とは、行列式が1のn次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。

特殊ユニタリ群 SU(n) はユニタリ群 U(n) の部分群であり、さらに一般線型群 GL(n,C)の部分群である。

特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ＝サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。

定義 [編集]

$SU(n) = \{ g \in U(n); \det g=1 \}$

ここで U(n) はユニタリ群、 det は行列式である。

性質 [編集]

特殊ユニタリ群 SU(n) は

次元 n²-1 の単純リー群
コンパクトで単連結
ランク n-1
SU(n) の中心は巡回群 Z_n と同型
外部自己同型群は n≥3 に対しては Z₂、n=2 に対しては自明な群

生成子 [編集]

SU(n) の生成子 T は、トレースが 0 のエルミート行列で表現される。

$\mathrm{tr}\,T_a=0$

$T_a^\dagger=T_a$

基本表現 [編集]

基本表現、或いは定義表現では、n次正方行列で表現される。

$T_aT_b=\frac{1}{2n}\delta_{ab} I_n +\frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2-1} (if_{abc}+d_{abc})T_c$

ここで、 f は構造定数で、全ての添え字に関して反対称であり、dは全ての添え字に関して対称である。

従って、

$\{T_a,T_b\} =T_aT_b+T_bT_a = \frac{1}{n} \delta_{ab} I_n+\sum_{c=1}^{n^2-1} d_{abc}T_c$

$[T_a,T_b] =T_aT_b-T_bT_a = i\sum_{c=1}^{n^2-1} f_{abc}T_c$

規格化条件として

$\sum_{c,e=1}^{n^2-1}d_{ace}d_{bce} = \frac{n^2-4}{n}\delta_{ab}$

をとる。

随伴表現 [編集]

随伴表現、或いはアジョイント表現では、n²-1 次正方行列で表現され、その成分は、

$(T_a)_{ij}=-if_{aij} \,$

で与えられる。

SU(2) [編集]

SU(2) の元の一般形は

$U = \begin{pmatrix} \alpha & -\bar{\beta} \\ \beta & \bar{\alpha} \\ \end{pmatrix}$

となる。ここで、 $\alpha,\beta\in \mathbb{C}$ は $|\alpha|^2+|\beta|^2=1 \,$ を満たす。

SU(3) [編集]

$\mathfrak{su}(3)$ の生成子 T の基本表現は

$T_a=\frac{1}{2}\lambda_a$

ここで、 $\lambda$ はゲル-マン行列である。

$\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

$\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

$\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \\ \end{pmatrix} \quad\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix}$