特殊ユニタリ群

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群論
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群論

n次の特殊ユニタリ群(とくしゅユニタリぐん、英語: special unitary group)SU(n) とは、行列式が1のn次ユニタリ行列の為すの事である。群の演算行列の積で与えられる。

特殊ユニタリ群 SU(n) はユニタリ群 U(n) の部分群であり、さらに一般線型群 GL(n,C)の部分群である。

特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用ワインバーグ=サラム理論強い相互作用量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型大統一理論などに出てくる。

定義[編集]

SU(n) = \{ g \in U(n); \det g=1 \}

ここで U(n) はユニタリ群、 det は行列式である。

性質[編集]

特殊ユニタリ群 SU(n) は

生成子[編集]

SU(n) の生成子 T は、トレースが 0 のエルミート行列表現される。

\mathrm{tr}\,T_a=0
T_a^\dagger=T_a

基本表現[編集]

基本表現、或いは定義表現では、n次正方行列で表現される。

T_aT_b=\frac{1}{2n}\delta_{ab} I_n
 +\frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2-1} (if_{abc}+d_{abc})T_c

ここで、 f は構造定数で、全ての添え字に関して反対称であり、dは全ての添え字に関して対称である。

従って、

\{T_a,T_b\} =T_aT_b+T_bT_a
 = \frac{1}{n} \delta_{ab} I_n+\sum_{c=1}^{n^2-1} d_{abc}T_c
[T_a,T_b] =T_aT_b-T_bT_a
 = i\sum_{c=1}^{n^2-1} f_{abc}T_c

規格化条件として

\sum_{c,e=1}^{n^2-1}d_{ace}d_{bce}
 = \frac{n^2-4}{n}\delta_{ab}

をとる。

随伴表現[編集]

随伴表現、或いはアジョイント表現では、n2-1 次正方行列で表現され、その成分は、

(T_a)_{ij}=-if_{aij} \,

で与えられる。

SU(2)[編集]

SU(2) の元の一般形は

U =
\begin{pmatrix}
\alpha & -\bar{\beta} \\
\beta & \bar{\alpha} \\
\end{pmatrix}

となる。ここで、\alpha,\beta\in \mathbb{C}|\alpha|^2+|\beta|^2=1 \, を満たす。

SU(3)[編集]

\mathfrak{su}(3) の生成子 T の基本表現は

T_a=\frac{1}{2}\lambda_a

ここで、\lambdaゲル-マン行列である。

\lambda_1 =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\quad\lambda_2 =
\begin{pmatrix}
0 & -i & 0 \\
i & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\quad\lambda_3 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\lambda_4 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\quad\lambda_5 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & -i \\
0 & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\quad\lambda_6 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\lambda_7 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -i \\
0 & i & 0 \\
\end{pmatrix}
\quad\lambda_8 =
\frac{1}{\sqrt{3}}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -2 \\
\end{pmatrix}

交換関係は

[T_a,T_b]=i\sum_{c=1}^8 f_{abc}T_c

となり、構造定数 f は

f_{123} = 1 \,
f_{147} = -f_{156} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = -f_{367} = \frac{1}{2} \,
f_{458} = f_{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,

となる。d は

d_{118} = d_{228} = d_{338} = -d_{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,
d_{448} = d_{558} = d_{668} = d_{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,
d_{146} = d_{157} = -d_{247} = d_{256} = d_{344} = d_{355} = -d_{366} = -d_{377} = \frac{1}{2}. \,

となる。

他の群との関係[編集]

素粒子物理学では、対称性の破れに関連して部分群が重要になる。

SU(p+q) \supset SU(p)\times SU(q)\times U(1)
SU(n) \supset O(n)
SU(2n) \supset USp(2n)
SO(2n) \supset SU(n)
USp(2n) \supset SU(n)
E_6 \supset SU(6)
E_7 \supset SU(8)
G_2 \supset SU(3)

O(n): 直交群、SO(n): 特殊直交群、USp(2n): シンプレクティック群、E6,E7,G2: 例外型リー群

また、スピン群と以下の同型がある

Spin(6) = SU(4) \,
Spin(4) = SU(2)\times SU(2) \,
Spin(3) = SU(2)=USp(2) \,

関連項目[編集]