量子色力学

標準模型

標準模型 背景 素粒子物理学 場の量子論 ゲージ理論 自発的対称性の破れ ヒッグス機構 構成要素 電弱相互作用 量子色力学 CKM行列 制約 強いCP問題 階層性問題 ニュートリノ振動 理論家 Sudarshan · マーシャク · ファインマン · ゲルマン · 坂田 · グラショー · ツワイク · 南部 · ハン · カビボ · ワインバーグ · サラーム · 小林 · 益川 · トホーフト · フェルトマン · グロス · ポリツァー · ウィルチェック

量子色力学（りょうしいろりきがく、quantum chromodynamics）とは「強い相互作用」を説明する、 SU(3) ゲージ対称性に基づくゲージ場の量子論である。

色

クォークとグルーオンは、カラーチャージ（color charge、色荷）と呼ばれる量子数を持つ。カラーチャージは、光の三原色からの類推により「赤」、「緑」、「青」と呼ばれることがある。カラーチャージを持たない状態は「白色」であるとも呼ばれる。これは SU(3) リー代数の表現を分かりやすい言葉で表したものである。クォークは SU(3) の基本表現 3（三重項）を作り、反クォークは基本表現 3（反三重項）をなす。3 は「色」の類推で言えば「補色」に対応している。グルーオンは随伴表現 8（八重項）で、「色」と「補色」を共に持つ8つの状態がある（3 × 3 から、「白色」（一重項）となる組み合わせが取り除かれる）。

カラーチャージはグルーオンと呼ぶゲージ粒子を交換することでやり取りされ、これが強い相互作用の源になっている。この相互作用はカラーチャージ間の距離が小さくなる（交換される運動量が高くなる）と弱くなるという、漸近的自由性を示す。逆に距離が大きくなると相互作用が強まり一定の力に近づく。この結果クォークを単体で取り出すことはできない。これは、現実に観測されるハドロンの状態は「白色」に限られるという、クォークの閉じ込め現象を説明する。

「白色」状態を作るには、三原色を持つクォークと「補色」となるカラーチャージをもつ反粒子とでペアを作る（メソン）か、3つのクォークについて3つの三原色を重ねて「白色」となるようにトリオを作る（バリオン）かが考えられる。SU(3) の表現論の言葉で言えば、

3 × 3 = 1 + 8

3 × 3 × 3 = 1 + 8 + 8 + 10

に現れる 1 がそれぞれメソンとバリオンに対応している。グルーオンのみからも「白色」の状態を作ることができる。そのような粒子はグルーボールと呼ばれる。また、これらの他の可能性もあり、それらはエキゾチックであると呼ばれる。2003年に報道されたペンタクォークやテトラクォークはエキゾチックな粒子（エキゾチックハドロン）の例である。

カラーチャージを持つことは、強い相互作用をするということと同じことである。それゆえ、電子やニュートリノなどのレプトンや電磁相互作用のゲージ粒子である光子はカラーチャージを持っていない。

歴史

原型

1932年、ジェームズ・チャドウィックにより原子核を構成する中性子が発見されたことで、原子核物理では核力を解明しようという風潮が起こった。1933年-1935年、核力のうちの強い相互作用は、湯川秀樹（エルンスト・シュテュッケルベルクも独立に発見）によって強い力を伝える中間子論で初めて定式化された。1947年にパイ中間子が発見され、この理論は実証された。場と粒子の対応が一般に認められるのは中間子論と中間子の発見による。湯川相互作用は、相互作用の数式の原型として、多くの相互作用に名前を残す。

量子電磁力学

「量子電磁力学#歴史」も参照

1927年から1928年、ポール・ディラックおよびヴェルナー・ハイゼンベルクが生成消滅演算子に基づいた場の量子論の基礎を確立し、古典電磁場を量子化する量子電磁力学を創始する。1927年には、フリッツ・ロンドンが（可換）ゲージ理論を形成した。1940年代になって、朝永振一郎、リチャード・ファインマンおよびジュリアン・シュウィンガーは、それまでの場の量子論の上に相対論的共変性、相対論的ゲージおよび繰り込みの方法を確立し、量子電磁力学を完成させた。

量子電磁力学は、驚異的な精度で実験と一致し、素粒子間の相互作用を全てゲージ理論で構成すべし、との機運が理論物理学界に広まった。

場の量子論の上に"ゲージ"および"繰り込み"を指導原理とする量子電磁力学は、後の弱い力・強い力を場の量子論の枠組みで扱う模範となり、ワインバーグ＝サラム理論や量子色力学の理論形成へとつながった。

「場の量子論」、「ゲージ理論」、および「繰り込み」も参照

強い力の非可換ゲージ

「ゲージ理論#歴史」も参照

電磁相互作用の場の量子論である量子電磁力学では、力を伝える場の理論的指導原理は"可換"ゲージ理論であった。 1954年、強い相互作用を扱うための強い力の非可換ゲージ理論が楊振寧およびロバート・ミルズによって発表された。これにより、量子色力学の非可換ゲージ理論が始まった。なお、内山龍雄も独立して、重力を含むより広い形式で可換ゲージ理論の発見に至っている（ヴォルフガング・パウリや南米の研究者もそれぞれ独立に発見している）。

クォーク模型

「クォーク模型#歴史」も参照

力を伝える理論である場の量子論に対して、強い力が作用する素粒子の現代的な構造モデルはクォーク模型である。1964年にマレー・ゲルマンとジョージ・ツワイクおよびユヴァル・ネーマンにより各々独立してクォーク模型が導入された。その原型は西島和彦やゲルマンのストレンジネスを利用した、P、N、Λ を基本粒子とする坂田昌一の坂田模型である。その数学化が、1959年に小川修二・池田峰夫・大貫義郎により、素粒子と考えられていた P、N、Λ の対称性に基づくIOO理論 (SU<3> - U<3>)（山口嘉夫も独立に）として実現される。これは群による対称性の記述がクォーク模型の原型に本格的に使われた最初の事例である。（ただし、量子力学に初めて群論を使った事例は、1927年にヘルマン・ワイルが原子スペクトルの対称性を記述したものである。また、1939年にはユージン・ウィグナーによる原子核をSU(4) で記述する重要な論文が出ている。IOO対称性は、これらの理論からよりクォーク模型に近づいたものと位置付けられる。）

カラー・グルーオン

クォーク模型発見の同年1964年、クォークの束縛状態であるハドロンのパウリ統計の問題の解析から、「新しい」自由度であるカラーがオスカー・グリーンバーグ (en:Oscar W. Greenberg) 、韓茂栄 (en:Moo-Young Han) 、南部陽一郎、および宮本米二、堀尚一により独立して提唱され、1973年にウィリアム・バーディーン、ハラルト・フリッチおよびマレー・ゲルマンによって共同で書かれた論文によって明確に確立された。カラーの概念の確立は、強い力のゲージ理論の端緒となる。

量子色力学において、カラーはクォークの3粒子に対応するのに対し、ゲージ粒子はグルーオンと呼ばれる。グルーオンは、マレー・ゲルマンらによって理論化された。

しかし、この理論は質量ゼロのベクトル粒子（つまり、長距離相互作用する粒子）を含み、１fm以下のスケールの現象の記述を目指す理論としては不満足なものだった。さらに、この量子色力学はカラー閉じ込め（低エネルギー領域）は不完全ながらも説明できたが、繰り込み可能性が証明されていず、高エネルギーでの漸近自由性は解明できなかった。

完成

1970年代に入ると、1971年ヘーラルト・トホーフトによる非可換ゲージ理論の繰り込み可能性の証明がなされる。さらに、1973年にはデイビッド・グロス、フランク・ウィルチェック およびH. デビッド・ポリツァーにより高エネルギーでの非可換ゲ－ジの漸近的自由性が繰り込み群を使ってに形成され、QCDが確立する。グロス、ウィルチェクそしてポリツァーはこの漸近自由性により、また、トホーフトは繰り込み可能性により、ノーベル物理学賞を受ける。

定式化

数学的には、量子色力学（以下、QCDと表記）はSU(3)対称群の非可換ゲージ理論である。カラーチャージを持つディラック場（クォーク場）同士の相互作用を媒介するゲージ場はグルーオン場である。

グルーオン場と相互作用するディラック場についてのQCDラグランジアン密度は以下のように表記される。

$\begin{align} \mathcal{L}_\mathrm{QCD} & = \bar{\psi}_i\left(i \gamma^\mu (D_\mu)_{ij} - m\, \delta_{ij}\right) \psi_j - \frac{1}{4}G^a_{\mu \nu} G^{\mu \nu}_a \\ & = \bar{\psi}_i (i \gamma^\mu \partial_\mu - m )\psi_i - g_s G^a_\mu \bar{\psi}_i \gamma^\mu T^a_{ij} \psi_j - \frac{1}{4}G^a_{\mu \nu} G^{\mu \nu}_a \end{align}$

ここで、

$\gamma^\mu \,\!$ はガンマ行列

$\ \psi_i$ はカラーチャージ $\ i$ を持つディラック場（ただし、iは3成分）

$\bar\psi\equiv\psi^\dagger\gamma_0$ はディラック場の随伴スピノル

$D_\mu = \partial_\mu + i g_s T^a G^a_\mu$ は共変微分

$\ g_s$ はグルーオン場の結合定数

$\ T^a$ はSU(3)の生成子（ただし、aは8成分）

$\ G^a_\mu$ はグルーオン場（電磁場における電磁ポテンシャルに相当）

$G^a_{\mu \nu} = \partial_\mu G^a_{\nu} - \partial_\nu G^a_\mu - g_s f^{abc} G^b_\mu G^c_\nu$ はグルーオン場テンソル（電磁場における電磁場テンソルに相当）

$\ f^{abc}$ はSU(3)の構造定数

である。

関連項目

• メソン - クォークと反クォークのペアからなるハドロン
• バリオン - クォーク3個からなるハドロン
• ペンタクォーク - クォーク、反クォーク合わせて5個からなるハドロン
• テトラクォーク - クォーク、反クォーク合わせて4個からなるハドロン
• アキシオン
• 繰り込み群
• ヤン・ミルズ理論
• 格子ゲージ理論