ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題

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ヤン-ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題(:Yang–Mills existence and mass gap)とは、「任意のコンパクトで単純なゲージ群 G に対して R 4 上の自明でないヤン-ミルズ場の量子論が存在し、質量ギャップが存在することを示せるか?」という量子色力学および数学上の未解決問題である。 2000年アメリカ合衆国クレイ数学研究所ミレニアム懸賞問題の一つとしてこの問題に100万ドルの懸賞金をかけた。

公式な問題の記述[編集]

問題は次のように要約される。[1]

ヤン・ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題とは、任意のコンパクトな単純ゲージ群 G に対して、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が \mathbb{R}^4 上に存在し、質量ギャップ Δ > 0 を持つことを証明せよ、という問題である。存在とは、Streater & Wightman (1964)Osterwalder & Schrader (1973)Osterwalder & Schrader (1975) に主張されていることと少なくとも同等な確立された公理的な性質を持つことを意味している。

このステートメントでは、ヤン=ミルズ理論は、素粒子物理学標準モデルを基礎とした(非可換な)場の量子論である。\mathbb{R}^44次元ユークリッド空間であり、質量ギャップ英語版 Δ はこの理論によって予言される最も小さな質量を持つ粒子の質量である。

従って、この賞金の勝者は下記を証明する必要がある。

  • 予言する力の場の理論の最小な粒子の質量が厳密に正であること。

たとえば、G=SU(3) —強い力の核力- の場合に、賞金の勝者はグルーボールが小さな質量境界を持り、この質量より軽い質量は存在しないことを証明する必要がある。

[...] 4次元の時空での場の量子論の数学的に完全な例は、未だ得ることができていなく、まして、厳密な 4次元の量子ゲージ理論の定義は得ていない。21世紀には、これは変わるのであろうか? そのように期待する!

アサー・ジャッフェ英語版(Arthur Jaffe)とエドワード・ウィッテン(Edward Witten)による Clay Institute の公式な問題提起の記述より

問題は、ワイトマンの公理を満たし、質量ギャップの存在を示すような QFT の構成を要求している。これらの話題を、双方とも以下に記述する。

ワイトマンの公理系[編集]

ミレニアム賞の問題は、ワイトマンの公理もしくは、同じような厳密な公理を満たすヤン・ミルズ理論を提示することを要求している[4]。ワイトマンの公理系には、4つの公理がある。

W0 (相対論的量子力学の条件)

量子力学は、フォン・ノイマン(von Neumann)に従い記述される。特に、純粋状態は、放射光、つまり、ある可分な複素ヒルベルト空間の 1-次元の部分空間により与えられる。

時空変換の群は可換であるので、作用素は同時対角化可能である。これらの群の生成子は、4つの自己随伴作用素 P_0,P_j, j = 1, 2, 3 をもたらし、この作用素の同次群の下での 4-ベクトルとしての変換は、エネルギー運動量ベクトルと呼ばれる。

ワイトマンの 0 番目の公理の第二の部分は、表現 U(a, A) がスペクトル条件を満たすことである。すなわち、エネルギー運動量の同時スペクトルが、前方錐の中に含まれていることである。

P_0\geq 0............... P_0^2 - P_jP_j\geq 0.

三番目の部分は、一意な状態の存在で、このことはヒルベルト空間内の放射光により表現されていて、ポアンカレ群の作用の下に不変である。これは、真空と呼ばれる。

W1 (場の領域と連続性の条件)

各々のテスト函数 f に対し、作用素 A_1(f),\ldots ,A_n(f) の集合が存在し、それらの随伴作用素と合わせて、真空を含むヒルベルト状態空間の稠密な部分集合上に定義される。場 A は作用素に値を持つ扱い易い分布である。ヒルベルト状態空間は、真空に作用する場の多項式により張られる(巡回条件)。

W2 (場の変換法則)

場は、ポアンカレ群の作用の下に共変で、ローレンツ群、あるいはスピンが整数でない場合は SL(2,C) の表現 S に従い変換する。

U(a,L)^{\dagger}A(x)U(a,L)=S(L)A(L^{-1}(x-a)).
W3 (局所可換性、マイクロ因果律)

2つの場のサポートがスペースライク英語版(space-like)に分離されていると、場は可換か、もしくは反可換である。

真空の巡回性、一意性は、ときには分離して考えることができる。また、漸近的完全性もある。つまり、ヒルベルト状態が漸近空間 H^{in}H^{out} により張られ、S-行列の衝突が現れる。場の理論のもうひとつの重要な性質として、公理からは要求されていない質量ギャップ英語版(mass gap)が存在する。質量ギャップとは、エネルギー運動量スペクトルが、零とある正の数の間のギャップを持つことである。

質量ギャップ[編集]

場の量子論質量ギャップ(mass gap)とは、真空と次に低いエネルギー状態の間の差異のことを言う。真空のエネルギーは定義により 0 であり、すべてのエネルギー状態が平面波での粒子として考えることができ、質量ギャップは最も軽い粒子の質量と考えられる。

実数の場 \phi(x) が与えられると、2点函数は次の性質を持つ場合、理論は質量ギャップを持つということができる。

\langle\phi(0,t)\phi(0,0)\rangle\sim \sum_nA_n\exp\left(-\Delta_nt\right)

ここに、\Delta_0>0 はハミルトニアンのスペクトルの最も低いエネルギーの値であり、従って質量ギャップである。この量は、容易に他の場へ一般化することができ、格子計算で測ることができるものである。格子の上では、ヤン・ミルズ理論がこの方法で質量ギャップを持つことが証明された[5][6]

ヤン・ミルズ理論の重要性[編集]

4次元の最も有名な非自明な(つまり相互作用を持つ)場の量子論は、カットオフ英語版スケールを持つ有効場の理論である。ほとんどのモデルに対しベータ函数は正であるから、そのようなモデルが非自明なUV固定点英語版(UV fixed point)を持っているか否かは全く明らかではないように、ランダウの極英語版(Landau pole)を持っているように思われる。このことは、もしQFTがすべてのスケールでwell-definedであれば、公理的場の量子論英語版(axiomatic quantum field theory)の公理を満たすことになるように、自明であるはずである(つまり、自由場となってしまう)。

非可換なゲージ群を持ち、クォークを持たない量子ヤン=ミルズ理論英語版(Quantum Yang-Mills theory)は、例外である。なぜならば、漸近自由性がこの理論を特徴づけ、理論が自明なUV固定点を持つことを意味するからである。従って、これが 4次元の最も単純な非自明な構成的QFTである。(QCD(Quantum chromodynamics)はクォークを持っているので、より複雑な理論である。)

クォークの凝固[編集]

これは、すくなくとも理論物理学の厳密さのレベルではすでに証明されているが、数理物理学の意味での厳密さではない。すなわち、非可換なリー群の量子ヤン=ミルズ理論は、クォークの閉じ込めとして知られている性質を示す。数理物理学的な厳密さの意味ではないが、この性質の詳細は、適当なQCDの記事を参照のこと(QCD、クォークの閉じ込め、格子ゲージ理論など)。この性質の結果の一つは、あるスケールを超えると、QCDスケールとして知られているように (より適切には、この理論は、クォークの閉じ込めを参照)、色電荷(color charge)は、QCDストリング(chromodynamic flux tubes)により結合され、電荷の間の線型なポテンシャルを導く。従って、自由な色電荷と自由なグルーオンは存在しない。閉じ込めのない状態で、質量を持たないグルーオンがあることが期待されるが、それらは閉じ込められているので、グル―ボール英語版(glueball)という中性の色を持つグルーオンしか観察することができない。もしグル―ボールが存在するとすると、それらは質量を持ち、期待の質量ギャップの理由を示すことになる。


関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ Arthur Jaffe and Edward Witten "Quantum Yang-Mills theory." Official problem description.
  2. ^ R. Streater and A. Wightman, PCT, Spin and Statistics and all That, W. A. Benjamin, New York, 1964.
  3. ^ K. Osterwalder and R. Schrader, Axioms for Euclidean Green’s functions, Comm. Math. Phys. 31 (1973), 83–112, and Comm. Math. Phys. 42 (1975), 281–305.
  4. ^ 引用エラー: 無効な <ref> タグです。 「official」という名前の引用句に対するテキストが指定されていません
  5. ^ Lucini, Biagio; Teper, Michael; Wenger, Urs (2004). “Glueballs and k-strings in SU(N) gauge theories : calculations with improved operators”. Journal of High-Energy Physics 0406: 012. arXiv:hep-lat/0404008. Bibcode 2004JHEP...06..012L. doi:10.1088/1126-6708/2004/06/012. .
  6. ^ Chen, Y.; Alexandru, A.; Dong, S. J.; Draper, T.; Horvath, I.; Lee, F. X.; Liu, K. F.; Mathur, N. et al. (2006). “Glueball Spectrum and Matrix Elements on Anisotropic Lattices”. Physical Review D 73: 014516. arXiv:hep-lat/0510074. Bibcode 2006PhRvD..73a4516C. doi:10.1103/PhysRevD.73.014516. .

外部リンク[編集]

  • The Millennium Prize Problems: Yang–Mills and Mass Gap
  • Streater, R.; Wightman, A. (1964). PCT, Spin and Statistics and all That. W. A. Benjamin . 
  • Osterwalder, K.; Schrader, R. (1973). “Axioms for Euclidean Green’s functions”. Comm. Math. Phys. 31 (2): 83–112. doi:10.1007/BF01645738. 
  • Osterwalder, K.; Schrader, R. (1975). “Axioms for Euclidean Green’s functions II”. Comm. Math. Phys. 42 (3): 281–305. doi:10.1007/BF01608978. 
  • Bogoliubov, N.; Logunov, A.; Oksak; Todorov, I. (1990). General Principles of Quantum Field Theory. Kluver . 
  • Strocchi, F. (1994). Selected Topics of the General Properties of Quantum Field Theory. World Scientific . 
  • Dynin, A. (2014). “Quantum Yang-Mills-Weyl dynamics in the Schroedinger paradigm”. RJMP 21 (2): 169–188. 
  • Dynin, A. (2014). “On the Yang-Mills Mass Gap problem”. RJMP 21 (3): 326-328. 
  • Bushhorn, G.; Wess, J. (2004). Heizenberg Centennial Symposium "Developments in Modern Physics". Springer .