S行列

「散乱行列」はこの項目へ転送されています。高周波電子回路については「Sパラメータ」をご覧ください。

S行列（Sぎょうれつ）または散乱行列（さんらんぎょうれつ）とは、散乱過程の始状態と終状態に関係する行列である。量子力学、散乱理論、場の量子論、マイクロ波工学などで用いられる。

物理学において 散乱演算子 とは、ヒルベルト空間上の粒子の漸近的な状態をつなぐユニタリ演算子として定義される。

$\hat{S}|\psi(-\infty)\rangle=|\psi(\infty)\rangle$

$\hat{S}^\dagger =\hat{S}^{-1}$

つまり、始状態 $t=-\infty \$ の後に散乱過程が起こり、終状態 $t=\infty \$ に到達したときの、時間発展演算子 $\hat{U}(-\infty,\infty)$ が 散乱演算子 である。この散乱演算子を行列表示したものが S行列 である。S行列 は任意の背景（時空）で定義し、漸近的に可解であいり、地平線を持たないこともあるが、ミンコフスキー空間の場合には単純な形を取る。この特別な場合は、ビルベルト空間はローレンツ群の既約ユニタリ表現の空間であり、S行列は時間 -∞ から時間 ∞ の間の時間発展演算子である。S行列はエネルギー密度がゼロ（もしくは無限に粒子が離れている）である極限で定義される。ミンコフスキー空間の場の量子論が質量ギャップ（英語版）を持つとすると、漸近的な過去と漸近的な未来での状態は、フォック空間により記述されることを示すことができる。

歴史 [編集]

S-行列は、ジョン・ホィーラー(John Archibald Wheeler)により、1937年の論文「On the Mathematical Description of Light Nuclei by the Method of Resonating Group Structure」で、最初に導入された．^[1]この論文でホィーラーは、「散乱行列(scattering matrix)」として導入した．--- この行列はユニタリ行列であり、係数は標準的な形の解を持つ（積分方程式の）任意の粒子の解への漸近的な振る舞いと繋がっている．^[2]

1940年ワーナー・ハイゼンベルクは、これとは独立に、S-行列の考え方を開発した．当時、場の量子論で問題なっていた発散問題のため、ハイゼンベルグは理論を考案するとき未来から影響を受けないように理論の本質的な姿を考案することに動機があった．そのようにする際に、彼はユニタリな「特徴的な」S-行列を導入した．^[2]

第二次世界大戦の後、少なくともヨーロッパでは、彼の仕事とS-行列アプローチへの執着は、10年もしくはそれ以上にわたり、ハドロンよりも小さな世界の物理の研究と代わるべきアプローチの発展に遅れが生じたかもしれない．

設定・定義 [編集]

散乱過程を始状態から終状態への転移としてとらえる散乱理論では、その転移確率を時間依存シュレディンガー方程式を用いて求める（時間発展についてはシュレディンガー描像から相互作用描像に書き換えてから計算することもある）。この方法は量子力学の考え方に沿った方法であり、非弾性散乱なども扱えるため一般性がある。

系の時間発展は相互作用描像であるとする。つまり状態の時間発展は「朝永-シュウィンガーの式」で表される。

衝突前の始状態の時刻としては、事実上無限の過去の時刻 $t'=-\infty$ をとることができる。
$t'=-\infty$ には、2個の入射粒子は十分遠くに離れていて、その間に相互作用はないと考えられる。
ただし粒子間の相互作用は、粒子間距離 $r$ の逆数 $1/r$ よりもはやく消えるものとする(したがって粒子間にクーロン力が作用する場合には、以下の理論はそのままでは適用できない)。この条件をみたす限り、 $t'=-\infty$ における状態として、自由ハミルトニアン $\hat{H_0}$ の固有状態を選ぶことができる。すなわち $t'=-\infty$ において系の状態ベクトル $|\psi_I(t'=-\infty)$ を以下のように設定しておく。

$|\psi_I(t'=-\infty)\rangle=|\Phi_i\rangle$

$\hat{H_o} |\Phi_i\rangle=E_i |\Phi_i\rangle$

$\langle\Phi_i|\Phi_j\rangle=\delta_{i,j}$

このとき状態の時間変化は時間発展演算子を用いて以下のように表せる。

$|\psi_I(t)\rangle=\hat{U}(t,-\infty)|\psi_I(-\infty)\rangle=\hat{U}(t,-\infty)|\Phi_i\rangle$

この表式は、はじめ時刻 $t'=-\infty$ において状態 $|\Phi_i\rangle$ にあった系が、時刻 $t$ においては相互作用の影響によって状態 $|\psi_I(t)\rangle$ に変わっていることを表すものである。

2粒子の衝突が終わり、それらの粒子がたがいに遠くに離れた時刻を $t=+\infty$ とすると、その状態は

$|\psi_I(t'=+\infty)\rangle=\hat{U}(+\infty,-\infty ) | \Phi_i \rangle$

で与えられる。この式によって形成された状態ベクトル $|\psi_I(t'=+\infty)\rangle$ を、 $\hat{H_0}$ の固有ベクトルの完全系 $| \Phi_i \rangle$ で展開し、その展開係数を $S_{j,i}$ と書くと、

$\langle \Phi_f|\psi_I(+\infty)\rangle = \langle \Phi_f|\hat{U}(+\infty,-\infty )| \Phi_i \rangle = \sum_j \langle \Phi_f| \Phi_i \rangle S_{j,i} = \sum_j \delta_{f,j}S_{j,i}=S_{f,i}$

である。すなわち

$S_{f,i} = \langle \Phi_f|\hat{U}(+\infty,-\infty )| \Phi_i \rangle$

は、時刻 $t'=-\infty$ に $\hat{H_0}$ の固有状態 $| \Phi_i \rangle$ にあった系が、相互作用 $\hat{V}_I$ によって、時刻時刻 $t'=+\infty$ において $\hat{H_0}$ の固有状態 $| \Phi_f \rangle$ に転移する確率振幅を与える。この $S_{f,i}$ をS行列と呼び、 $\hat{S}=\hat{U}(+\infty,-\infty )$ をS演算子と呼ぶ。