リーマン予想

リーマンのゼータ関数ζ（1/2+ix）の実部（赤色）と虚部（青色）を表したもの。自明でない零点がx=±14.135、±21.022、±25.011に現れる。

リーマン予想（リーマンよそう、Riemann Hypothesis）とは、ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンによって提唱された、ゼータ関数の零点の分布に関する予想である。英語表記 Riemann Hypothesis の直訳であるリーマン仮説と表記したり、RHと略すこともある。数学上の未解決問題のひとつであり、クレイ数学研究所はミレニアム懸賞問題の一つとしてリーマン予想の解決者に対して100万ドルの懸賞金を支払うことを約束している。

概要

リーマンは素数の分布に関する研究を行っている際にオイラーが研究していた以下の級数をゼータ関数と名づけ、解析接続を用いて複素数全体への拡張を行った。

ゼータ関数を次のように定義する。

$\zeta(s)=1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + ... = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$

1859年にリーマンは自身の論文の中で、複素数全体 (s≠1) へゼータ関数を拡張した場合、

ζ(s) の自明でない零点sは、全て実部が1/2の直線上に存在する。

と予想した。ここに、自明な零点とは負の偶数（-2, -4, -6, …）のことである。自明でない零点は0 < Re(s) < 1の範囲にしか存在しないことが知られており（下記の歴史を参照）、この範囲をクリティカル・ストリップという。

なお素数定理はリーマン予想と同値な近似公式からの帰結であるが、素数定理自体はリーマン予想がなくとも証明できる。この注意は歴史的には重要なことで、実際リーマンがはっきりとは素数定理を証明できなかった理由はリーマン予想の正否にこだわっていたためであると思われている（素数分布とのゼータ関数との関係はゼータ関数や素数定理、リーマンの素数公式の項を参照のこと）。

現在もリーマン予想は解かれていない。数学における最も重要な未解決問題の一つである。リーマンのゼータ関数を特殊な場合に含むL関数に対しても同様の予想を考えることができ、これを一般化されたリーマン予想（Generalised Riemann Hypothesis：GRHと略される）と呼んでいる。

最近では、虚部が小さい方から10兆個（X. Gourdon and P. Demichel,2004）までの複素零点はすべてリーマン予想を満たすことが計算されており、現在までにまだ反例は知られていない。現在では多くの数学者が（当然のことだが、はっきりした根拠を持たずに）リーマン予想は正しいと考えているようである。しかし無限にある零点からみればたかだか有限の数表などは零点分布の真の姿を反映するには至らないとして、この計算結果に対して慎重な数学者もいる。歴史上有名な数学者の中でもリーマン予想を疑っていた数学者はいる。

リーマン予想の歴史

• 1859年にリーマンは論文「与えられた数より小さい素数の個数について」を発表し、その中でリーマン予想を提示した。リーマン自身はその証明を試みて成功しなかったことを認めているが中間的な結果としてゼータ関数の自明でない零点の実数部が1/2について対称であり、かつ0から1の間（境界を含む）にしか存在しないことを示していた。
• 1896年にド・ラ・ヴァレ・プーサンとアダマールが独立に素数定理を証明したが、それはゼータ関数の自明でない零点の実数部が1になりえないことの証明によるものだった。よって自明でない零点の実数部の範囲は、境界を含まないところまで狭められた。
• 1900年にパリで開かれた第2回国際数学者会議でヒルベルトは数学上の未解決の問題23題（ヒルベルトの23の問題）を提起した。リーマン予想はこの内、素数の分布に関する8番目の問題に含まれている。
• 1914年、ハーディとリトルウッドは Re(s) = 1/2 上に零点が無限に存在することを示した。
• 1972年、ヒュー・モンゴメリーと物理学者フリーマン・ダイソンが、ゼータ関数上の零点の分布の数式が、原子核のエネルギー間隔を表す式と一致する事を示し、素数と核物理現象との関連性が示唆された。以降物理学者も含めてリーマン予想の研究が活発化する。
• 1996年、シアトルで第一回世界リーマン予想会議が開催される。この中でアラン・コンヌが素数問題と非可換幾何との関係性を示した。
• 2000年にクレイ数学研究所 (Clay Mathematics Institute) はリーマン予想の証明を含む数学の未解決問題7問に対してそれぞれ100万ドルの賞金をかけた（ミレニアム懸賞問題）。
• 2004年6月に米パデュー大学の数学者ルイ・ド・ブランジュがリーマン予想を証明したと発表した。しかし彼は既に幾度も証明を主張し反証されており、今回も同様の手法をとっているため見込みは薄いと考えられている。
• 2009年、ルイ・ド・ブランジュが再度リーマン予想の証明を発表（4度目）。この様子を追ったドキュメンタリーがNHKによって放送された。

同値命題

以下の各命題は、リーマン予想と同値である。

• 十分大きな任意のxに対し、

  $|\pi(x) - {\rm li}(x)| \leq C\,\sqrt x\,\ln(x)$

  が成り立つような定数 C が存在すること。ここに li(x) は対数積分を表す。これは

  $\pi(x)={\rm li}(x)+O(x^{1/2+\epsilon})\,$

  と表現しても同じことである。ただし、O はランダウの記号である。
• 自然数 n の正の約数の和を σ(n)（約数関数）で表すとき、n > 5040に対して

  $\sigma(n) < e^\gamma n \ln \ln n \,$

  が成り立つこと。ここにγはオイラー定数を表す。
• 任意の自然数nに対して

  $\sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}$

  が成り立つこと。ここにH_nはn番目の調和数、すなわち

  $H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$

  で定義される有理数である。

参考文献

• E.C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function 2nd ed., Oxford Science Publications, 1951, 1987. ISBN 0198533691
• Harold M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Dover Publications, 2001. ISBN 0486417409
• マーカス・デュ・ソートイ『素数の音楽』冨永星訳、新潮社、2005年 ISBN 4-10-590049-8
• 鹿野健編『リーマン予想』日本評論社、1991年 ISBN 4535781818
• 日本数学会『岩波数学辞典（第3版）』岩波書店、1985年 ISBN 4000800167
• カール・サバー『リーマン博士の大予想 数学の未解決最難問に挑む』黒川信重訳、紀伊国屋書店、2004年 ISBN 431400973X
• ジョン・ダービーシャー『素数に憑かれた人たち～リーマン予想への挑戦～』松浦俊輔訳、日経BP社、2004年 ISBN 482228204X
• 松本耕二『リーマンのゼータ関数』朝倉書店、2005年 ISBN 4254117310

関連項目

• ベルンハルト・リーマン
• ゼータ関数
• 与えられた数より小さい素数の個数について（リーマンの論文）
• 素数定理
• L関数
• ミレニアム懸賞問題
• ヒルベルトの23の問題

外部リンク

• Weisstein, Eric W., "Riemann Hypothesis" - MathWorld.（英語）
• The Riemann Hypothesis（英語）