ヤン＝ミルズ理論

ヤン＝ミルズ理論（－りろん、英: Yang-Mills theory）は、1954年に楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された非可換ゲージ場の理論のことである。

なお、その少し前にヴォルフガング・パウリと内山龍雄も同理論を完成していたと言われているが、様々な事情により発表が遅れ、先取権はヤン＝ミルズにあるとされる。

概要

この理論は元々、ワイルらによって研究が進められていた可換対称性に基づくゲージ理論を、非可換対称性にまで発展させた理論である。 非可換ゲージ理論の代表的なものであり、他の非可換ゲージ理論としてはチャーン＝サイモンズ理論などがある。

この理論は最初、陽子と中性子のアイソスピンSU(2)対称性に着目して構築されたものである。これ自体は実験と合わなかったが、現在でも自発的に破れたSU(2)×U(1)の弱アイソスピンとハイパーチャージの対称性に受け継がれているといえる（ワインバーグ＝サラム理論）。 このように対称性が破れているケースもヤン＝ミルズ理論に含む場合もある。

現在の典型的なヤン＝ミルズ理論はカラーSU(3)対称性に基づく量子色力学である。

また、検証されていない理論として、SU(5)やSO(10)対称性に基づく大統一理論などがある。

超対称性を持つように拡張される場合もあり、超対称ヤン＝ミルズ理論(Super Yang-Mills Theory、SYM)と呼ばれる。各種超対称性理論の基礎として、また超弦理論との関係などから、現在盛んに研究されている。

また、現実に（仮に近似的だとしても）ヤン＝ミルズ理論が存在する以上、現実を説明する素粒子仮説は、適当な状況設定の下でヤン＝ミルズ理論を再現するように作られる事が多い。ヤン＝ミルズ理論を内包している理論に、カルツァ＝クライン理論や超弦理論がある。

内容

ヤン＝ミルズ理論は、非可換リー群をゲージ対称性に持つゲージ理論である。

パラメータ $\epsilon^a$ で特徴付けられるリー群

$G(\epsilon) = \exp(i\epsilon^a T^a)$

を考える。 ここで、T はリー群の生成子である。 群の非可換性を反映して、

$[T^a,T^b]=if^{abc} T^c$

となる。$f^{abc}$ は群の構造定数である。

ゲージ変換

局所化されたパラメータ $\xi^a(x)$ で特徴付けられるゲージ変換の下で、場 $\phi_i(x)$ は

$\begin{align} \phi_i(x) \to \phi'_i(x) =& [G(g\xi(x))]_{ij} \phi_j(x) \\ =& [\exp(ig\xi^a(x)T^a)]_{ij} \phi_j(x) \end{align}$

と変換される。 パラメータの一次を考えると

$\delta_\xi\phi(x) = ig\xi^a(x)T^a_{ij}\phi_j(x)$

となる。 ここで生成子 $T^a_{ij}$ は、ゲージ変換の下での場 $\phi_i(x)$ の属する表現での行列表現である。

gは理論の結合定数である。この理論の大きな特徴として、全ての共変微分およびヤン＝ミルズ項に含まれる結合定数が等しい事が挙げられる（結合定数の普遍性）。この普遍性は標準模型においても検証されており、素粒子物理がゲージ理論で記述される事の強い傍証となっている。

共変微分

ヤン＝ミルズ理論において、場 $\phi_i(x)$ の微分は共変微分

$\mathcal{D}_\mu\phi_i(x) \equiv \partial_\mu\phi_i(x) -igA^a_\mu(x) T^a_{ij}\phi_j(x)$

へと置き換えられる。ここで $A^a_\mu(x)$ はゲージ場である。 ゲージ場はゲージ変換の下でパラメータの一次で

$\delta_\xi A^a_\mu(x) = gf^{abc}\xi^c(x)A^b_\mu(x) +\partial_\mu\xi^a(x) = \mathcal{D}_\mu\xi^a(x)$

と変換される。 従って共変微分は

$\delta_\xi\mathcal{D}_\mu\phi_i(x) = ig\xi^a(x)T^a_{ij}\mathcal{D}_\mu\phi_j(x)$

と変換し、場と同じ変換性をもつ。 これにより、様々な場からゲージ対称性を満足する項を作る事が出来る。 ゲージ場は様々な場と共変微分を通して相互作用をする。

ヤン＝ミルズ項

ヤン＝ミルズ理論では、ラグランジアンにヤン＝ミルズ項

$\mathcal{L}_\mathrm{YM} \equiv -\frac{1}{4} F^{a\mu\nu} F^a_{\mu\nu}$

（各添え字について和を取る）を持つ。 F はゲージ場のfield-strengthテンソルであり、以下のように表される。

$F^a_{\mu \nu} \equiv \partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu +g f^{abc} A^b_\mu A^c_\nu$

非自明な交換関係に伴って、構造定数に関係する項が現れるのが特徴である。

繰り込み群と結合定数

繰り込み群の考え方から、着目するエネルギースケールによって結合定数が変化するという描像を得る事が出来る。$n_f$ 個のフレーバーを持つゲージ群の表現 $r$ に属するフェルミオンを含むヤン＝ミルズ理論の1ループベータ関数は、

$\beta(g) = -\frac{g^3}{(4 \pi)^2} (\frac{11}{3}C_2(G) -\frac{4}{3}n_fC(r))$

となる。ただし、$C_2(G)$ は $f^{acd}f^{bcd}=C_2(G) \delta^{ab}$ によって定義される随伴表現における2次のカシミア演算子、$C(r)$ は表現 $r$ における生成子の行列表現の規格化定数 $\mathrm{Tr}(T^a(r)T^b(r))=C(r) \delta^{ab}$ である。

量子色力学においては、$C_2(G)=3$ で、$C(r)=1/2$である。 これは、フェルミオンのフレーバーが少ない場合のヤン＝ミルズ理論が、高エネルギーでは相互作用が弱くなる(漸近的自由性)、と読むことが出来る。

参考文献

論文

• C. -N. Yang and R. L. Mills (1954). “Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance”. Phys. Rev. 96: 191. doi:10.1103/PhysRev.96.191. 

書籍

• 内山龍雄 『一般ゲージ場論序説』 岩波書店、1987年。ISBN 4-00-005040-0。
• 佐藤勝彦『アインシュタインが考えた宇宙』実業之日本社、2005年
• 川合光『はじめての超ひも理論』講談社現代新書、2005年
• Michael E. Peskin; Daniel V. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. ISBN 0201503972. 
• Barton Zwiebach (2004). A First Course in String Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0521831437. 

関連項目

• 標準理論
• ゲージ理論
• 場の量子論