ポアンカレ予想

（3次元）ポアンカレ予想（ポアンカレよそう、Poincaré conjecture）とは、数学（位相幾何学）における予想のひとつ。

概要

ポアンカレ予想とは、

単連結な3次元閉多様体は3次元球面S³に同相である。

という予想であり、1904年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出された。以来ほぼ100年にわたり未解決だったが、2002年から2003年にかけてロシア人数学者グリゴリー・ペレルマンはこれを証明したとする複数の論文をarXivに掲載した。これらの論文について2006年の夏ごろまで複数の数学者チームによる検証が行われた結果、証明に誤りのないことが明らかになり、ペレルマンには、この業績によって2006年のフィールズ賞が贈られた（ただし本人は受賞を辞退）。

一般化された問題

単連結な2次元閉多様体においては、どのような輪であっても引き絞れば回収できるようであれば、その表面（表皮部分）は2次元球面に同相である。

ポアンカレ予想は一般化（高次元に拡張）できる。それは次のようなものである。

• n次元ホモトピー球面はn次元球面に同相である

このようにポアンカレ予想をn次元に一般化するとn=2での成立は古典的な事実であり、n≥4の場合は早くに証明が得られていた。n≥5の時はスティーヴン・スメイルによって（1960年）、n=4の時はマイケル・フリードマンによって（1981年）証明された。2人とも、その業績からフィールズ賞を受賞している。スメイルの証明は微分位相幾何学的なものであったが、フリードマンの証明は純粋に位相幾何学的なものである。実際、フリードマンの結果はその直後にドナルドソンによる異種4次元ユークリッド空間（位相的には通常の4次元空間だが、微分構造が異なるもの）の発見へとつながった。以上よりオリジナルである3次元ポアンカレ予想のみを残し、高次元ポアンカレ予想は先に決着してしまった（微分同相については4次元ポアンカレ予想も未解決）。

数学的に厳密ではないが、次のように例えることができる。宇宙の中の任意の一点から長いロープを結んだロケットが宇宙を一周して戻って来たとする。ロケットがどんな軌道を描いた場合でもロープの両端を引っ張ってロープを全て回収できるようであれば、宇宙の形は概ね球体である（ドーナツ型のような穴のある形、ではない）と言えるのではないか、というのが（3次元）ポアンカレ予想の主張である。

ギャラリー

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  自分の体を前後上下無限の間仕切りで真っ二つにしたとき、左から投げた球が宇宙のどこかでいつのまにか間仕切りの右に来ていれば3次元球面に同相とはいえない。

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  有限距離で宇宙にロープを引き回しても、そのロープが無限に回収できなくなる状況の例。無限に細い糸でもやはり回収できないのか？

3次元ポアンカレ予想と幾何化予想

3次元ポアンカレ予想についてウィリアム・サーストンの幾何化予想（サーストンのプログラム）があり、これは3次元多様体の分類に関するものである。この予想は3次元ポアンカレ予想を含み、大変壮大なものである。

幾何化予想とペレルマン

グリゴリー・ペレルマン（1993年）

2002年から2003年にかけて当時ステクロフ数学研究所に勤務していたロシア人数学者グリゴリー・ペレルマンはポアンカレ予想を証明したと主張し、論文をプレプリント投稿サイトとして著名なarXivにて公表した。そのなかで彼はリチャード・ストレイト・ハミルトンが創始したリッチフロー（Ricci flow）の理論に「手術」と呼ぶ新たな手法を付け加えて拡張し、驚くべきことにサーストンの幾何化予想を解決してその系としてポアンカレ予想を解決した（と宣言した）。

非常に単純に言えば、幾何化予想とは、多様体を8つのピースに分割し、そのピース毎に幾何的性質を調べるというものである。一方で、リッチフローを用いたときに、ピースから全体を構成し直すときに特異点が発生する可能性がある。ペレルマンはこの特異点の発生条件と特異点の性質を調べ、特異点が発生しないような手法を考えた。それが「手術」といわれる方法である。

それ以来ペレルマン論文に対する検証が複数の数学者チームによって試みられた。原論文が理論的に難解でありかつ細部を省略していたため検証作業は難航したが、2006年5 - 7月にかけて3つの数学者チームによる報告論文が出そろった。

• ブルース・クライナーとジョン・ロット, Notes on Perelman's Papers（2006年5月）：ペレルマンによる幾何化予想についての証明の細部を解明・補足
• 朱熹平と曹懐東、A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures - application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow（2006年7月、改訂版2006年12月）：ペレルマン論文で省略されている細部の解明・補足
• ジョン・モーガンと田剛 Ricci Flow and the Poincaré Conjecture（2006年7月）：ペレルマン論文をポアンカレ予想に関わる部分のみに絞って詳細に解明・補足

これらのチームはどれもペレルマン論文は基本的に正しく致命的誤りはなかったこと、また細部のギャップについてもペレルマンの手法によって修正可能であったという結論で一致した。これらのことから、現在では少なくともポアンカレ予想についてはペレルマンにより解決されたと考えられている。

ほとんどの数学者がトポロジーを使ってポアンカレ予想を解こうとしたのに対し、ペレルマンは微分幾何学と物理学の手法を使って解いてみせた。そのため、解の説明を求められてアメリカの壇上に立ったペレルマンの解説を聞いた数学者たちは、「まず、ポアンカレ予想を解かれたことに落胆し、それがトポロジーではなく微分幾何学を使って解かれたことに落胆し、そして、その解の解説がまったく理解できないことに落胆した」という。なお、証明には熱量・エントロピーなどの物理的な用語が登場する。

2006年8月22日、スペインのマドリードで催された国際数学者会議の開会式においてペレルマンに対しフィールズ賞が授与された。ただし、本人はこれを辞退した。その直前にステクロフ数学研究所を退職しており、その後は無職の状態である。人付き合いを嫌い、サンクトペテルブルクの実家で僅かな貯金と母親の年金で生活している。

2006年12月22日、アメリカの科学誌「サイエンス」で科学的成果の年間トップ10が発表され、その第1位に「ポアンカレ予想の解決」が選ばれた。

賞金100万ドル

アメリカにあるクレイ数学研究所（CMI）はポアンカレ予想をミレニアム懸賞問題の一つに指定し、証明した者に100万ドル（約1億円）の賞金を与えると発表している。ここでペレルマンが本賞を受賞するのかどうかが一部の関心を呼んでいた。また、彼は賞金を受け取る条件である「査読つき専門雑誌への掲載」をしておらず、また彼の証明はあくまでも要領を発表したに過ぎないという説もあった。

この件に関し、CMI代表のジェームズ・カールソン(James Carlson)は次のように述べている。

CMIの規定では受賞資格者は必ずしも専門誌に掲載された論文の直接的な執筆者に限られる訳ではない。ペレルマンが変則的な発表手段を採り、arXivへの掲載のみに留めて専門誌に投稿していないというそのこと自体は、彼が受賞する上での障害とはならない。CMIは何れにしてもあらゆる素材を吟味して証明の成否を判定し、然る後初めて授賞を検討するようである。

2010年3月18日、クレイ数学研究所はペレルマンへのミレニアム賞授賞を発表した。これに関してペレルマンは以前、同賞を「受けるかどうかは、授賞を伝えられてから考える」と述べていたが、結局授賞式には出席しなかった。研究所の所長は「選択を尊重する」と声明を発表し、賞金と賞品は保管されるという。

2010年7月1日、ペレルマンは賞金の受け取りを最終的に断ったと報じられた。断った理由は複数あり、数学界の決定には不公平があることに対する異議や、ポアンカレ予想の解決に貢献したリチャード・S・ハミルトンに対する評価が十分ではないことなどを挙げている。さらに、このことについて本人は「理由はいろいろある」と答えた。

関連文献

• ドナル・オシア 『ポアンカレ予想を解いた数学者』 糸川洋訳、日経BP社、2007年6月25日。ISBN 978-4-8222-8322-3。
• 春日真人 『100年の難問はなぜ解けたのか　天才数学者の光と影』 日本放送出版協会〈NHKスペシャル〉、2008年6月26日。ISBN 978-4-14-081282-2。
  • 春日真人 『100年の難問はなぜ解けたのか　天才数学者の光と影』 新潮社〈新潮文庫〉、2011年6月1日。ISBN 978-4-10-135166-7。 - 春日(2008)の文庫版。
• マーシャ・ガッセン 『完全なる証明　100万ドルを拒否した天才数学者』 青木薫 訳、文藝春秋、2009年11月15日。ISBN 978-4-16-371950-4。
  • マーシャ・ガッセン 『完全なる証明　100万ドルを拒否した天才数学者』 青木薫 訳、福岡伸一 解説、文藝春秋〈文春文庫〉、2012年4月10日。ISBN 978-4-16-765181-7。 - ガッセン(2009)の文庫版。
• 河野俊丈 (2010年3月25日). “多面体の幾何学から空間の広がりをみる”. 東京大学数物連携宇宙研究機構. 2013年4月4日閲覧。
• 小林亮一 『リッチフローと幾何化予想』 培風館〈数理物理シリーズ5〉、2011年6月。ISBN 978-4-563-00665-5。
• 数学セミナー編集部 編, ed.「解決！ポアンカレ予想」、『数学セミナー』増刊、日本評論社、2007年1月。
• 数学セミナー編集部 編, ed.「ミレニアム賞問題 　7つの未解決問題はどうなったか？」、『数学セミナー』増刊、日本評論社、2010年7月。
• ジョージ・G・スピーロ 『ポアンカレ予想　世紀の謎を掛けた数学者、解き明かした数学者』 永瀬輝男・志摩亜希子監修、鍛原多惠子・坂井星之・塩原通緒・松井信彦訳、早川書房、2007年12月19日。ISBN 978-4-15-208885-7。
  • ジョージ・G・スピーロ 『ポアンカレ予想　世紀の謎を掛けた数学者、解き明かした数学者』 永瀬輝男・志摩亜希子監修、鍛原多惠子・坂井星之・塩原通緒・松井信彦訳、早川書房〈ハヤカワ文庫 NF373 〈数理を愉しむ〉シリーズ〉、2011年4月8日。ISBN 978-4-15-208885-7。 - スピーロ(2007)の文庫版。
• 戸田正人「3次元トポロジーの新展開　リッチフローとポアンカレ予想」、『数理科学』臨時別冊・数理科学・SGCライブラリ57、サイエンス社、2007年7月25日、 ISBN 978-4-14-081282-2。
• 根上生也 『トポロジカル宇宙　ポアンカレ予想解決への道　完全版』 日本評論社、2007年11月、新版。ISBN 978-4-535-78494-9。
• 根上生也 編著「楽しもう！数学」、『数学セミナー』増刊、日本評論社、2011年9月。
• 本間竜雄 『ポアンカレ予想物語』 日本評論社〈数セミ・ブックス13〉、1985年12月。ISBN 4-535-60213-1。
• ポアンカレ 「5.3　ポアンカレ予想」『ポアンカレ　トポロジー』 斎藤利弥訳、朝倉書店〈数学史叢書〉、1996年12月10日。ISBN 4-254-11458-3。
• 松本幸夫 「フリードマン　４次元ポアンカレ予想の解決」『現代幾何学の流れ』 砂田利一 編、日本評論社、2007年10月。ISBN 978-4-535-78432-1。
• 松本幸夫 『4次元のトポロジー』 日本評論社、2009年12月、増補新版。ISBN 978-4-535-60615-9。
• 南みや子・永瀬輝男 『ポアンカレの贈り物　数学最後の難問は解けるのか』 講談社〈ブルーバックス1322〉、2001年3月20日。ISBN 4-06-257322-9。

さらに進んだ文献

• Perelman, Grisha (2002年11月11日). “The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications”. arXiv:math.DG/0211159 [math.DG]. 
• Perelman, Grisha (2003年3月10日). “Ricci flow with surgery on three-manifolds”. arXiv:math.DG/0303109 [math.DG]. 
• Perelman, Grisha (2003年7月17日). “Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds”. arXiv:math.DG/0307245 [math.DG]. 

外部リンク

• 100年の難問はなぜ解けたのか～天才数学者 失踪の謎～
• 「ポアンカレ予想」ジョン・ミルナー2000年3月 (PDF)（東京大学大学院数理科学研究科:翻訳者不明）