ポアンカレ群

ポアンカレ群（ポアンカレぐん）とは、ポアンカレ変換の為す変換群。10次元のノンコンパクトリー群である。

ポアンカレ変換

ポアンカレ変換とは、ミンコフスキー空間における等長変換である。 等長変換においては内積が保存される。

ポアンカレ変換は並進とローレンツ変換からなる。

座標変換

ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。

並進

$x^\mu \to x'^\mu = x^\mu +a^\mu$

ローレンツ変換

$x^\mu \to x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$

ここで、a, Λ は変換のパラメータである。

生成子

並進の生成子 P は運動量、ローレンツ変換の生成子 M は角運動量である。 ミンコフスキー空間上の関数（スカラー場）φ(x) を考えると

$i[P_\mu, \phi(x)] = \partial_\mu\phi(x)$

$i[M_{\mu\nu}, \phi(x)] = x_\mu\partial_\nu\phi(x) -x_\nu\partial_\mu\phi(x)$

となる。

ポアンカレ代数

ポアンカレ代数とはポアンカレ群のリー代数で、次の交換関係をみたす。

$[P_\mu, P_\nu] =0$

$[M_{\mu\nu}, P_\rho] =i(\eta_{\mu\rho}P_\nu -\eta_{\nu\rho}P_\mu)$

$[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] =i(\eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} -\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} -\eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} +\eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})$

関連項目

• ネーターの定理
• ポアンカレ対称性の拡張
  • 超対称性
  • 共形変換