ユニタリ表現

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数学では、 G のユニタリ表現(unitary representation)とは、G の複素ヒルベルト空間 V 上の線型表現 π であり、すべての g ∈ G に対し π(g) がユニタリ作用素となっているような表現を言う。一般論は、G が局所コンパクトな(ハウスドルフ位相群で、表現が強連続英語版の場合によく研究されている。

1920年以来、特に、ヘルマン・ワイルの1928年の書籍 Gruppentheorie und Quantenmechanik (群論と量子力学)の影響によって、この理論は広く量子力学へ応用されている。ジョージ・マッケイはユニタリ表現の一般論を構成した開拓者の一人であり、彼は特別な群ではなく任意の群 G に応用することができる一般論を確立した。

調和解析の脈絡[編集]

群のユニタリ表現の理論は調和解析と密接に関連している。G がアーベル群の場合は、G の表現論はポントリャーギン双対により完全な描像される。一般に、G の既約なユニタリ表現の同値類は、ユニタリ双対(unitary dual)を作る。この集合は、C*-代数の群の構成により G に付随するC*-代数のスペクトル英語版(spectrum of the C*-algebra)と同一視できる。この空間は、位相空間である。

プランシュレルの定理の一般的な形は、ユニタリ双対の上の測度により、L2(G) 上の G の正則表現を記述しようとしたことにある。G が可換な場合は、ポントリャーギンの双対理論により与えられる。G がコンパクト英語版のときは、これがピーター・ワイルの定理英語版(Peter-Weyl theorem)である。この場合には、ユニタリ双対は離散空間である。

形式的な定義[編集]

G を位相群とする。ヒルベルト空間 H 上における群 G の強連続ユニタリ表現(strongly continuous unitary representation)とは、G から H のユニタリ群の中への群準同型

 \pi \colon G \rightarrow \operatorname{U}(H)

で、g → π(g) ξ がすべての ξ ∈ H に対してノルム連続函数となっている表現をいう。

G がリー群のときには、ヒルベルト空間も基礎となる滑らかなか解析的な構造を持つことに注意する必要がある。H の中のベクトル ξ は、写像 g → π(g) ξ が滑らかで解析的(H 上のノルム、あるいは弱トポロジーに対して)なときに、滑らか解析的であるという[1]コンパクトな台を持つ滑らかな対合が滑らかなベクトルであるので、古典的なラース・ガーディング英語版(Lars Gårding)の議論により、滑らかなベクトルは H の中で稠密である。G 不変包絡代数英語版(universal enveloping algebra)に対応する熱作用素 e–tD の像の中のベクトルは解析的であるので、ロエ・グッドマンによる拡張に拡張され、エドワード・ネルソン英語版(Edward Nelson)による古典的な議論により、解析的なベクトルは(H の中で)稠密である。滑らかで解析的なベクトルは稠密な部分空間を形成するだけではなく、スペクトル理論の意味では、リー代数の元に対応する非有界な歪随伴作用素(skew-adjoint operator)の共通の中心を形成する[2]

2つのユニタリ表現 π1 : G → U(H1), π2 : G → U(H2) は、ユニタリ作用素 A : H1 → H2 が存在し、G のすべての元 g に対し A∘π1(g) = π2(g)∘A となるとき、ユニタリ同値という。これが成立するとき、A は表現 (π1, H1), (π2, H2) に対し繋絡作用素英語版(intertwining operator)という[3]

完全可約性[編集]

ユニタリ表現は完全可約英語版(completely reducible)である。この意味は、任意の閉不変部分空間に対し、直交成分が再び閉部分空間となることを意味する。これは基本的な性質である。例えば、代数的には、有限次元のユニタリ表現はいつも既約表現直和となっていることを意味する。

ユニタリ表現は一般の表現よりも非常に容易である。ある適当な複素ヒルベルト空間の構造を導入すると、その上ではユニタリ化されるというユニタリ化した表現(unitarizable representation)を考えることが自然にできる。このことは、任意のエルミート構造へ平均を取る議論を適用することによって、有限群の表現英語版や、より一般的にコンパクト群英語版に対しても成り立つ。例えば、この方法により、マシュケの定理の自然な証明が与えられる。

ユニタリ化可能性とユニタリ双対の問題[編集]

一般にコンパクトでない群に対しては、ユニタリ化可能性の問題はより難しくなる。数学の重要な未解決問題のひとつに、ユニタリ双対(unitary dual)の記述の問題がある。この問題は、すべての実簡約リー群の既約なユニタリ表現を分類せよという問題である。すべての既約なユニタリ表現は、許容表現英語版(admissible)であり(または、それらのハリッシュ・チャンドラ加群英語版(Harish-Chandra module)が許容表現を持つ)、許容表現はラングランズ分類英語版(Langlands classification)により与えられ、非自明な不変半双線型形式を持つと言うことができる。一般には、二次形式正定値であることを言うことが非常に難しい。多くの簡約リー群に対して、この問題は解決されている。例えば、SL2(R)の表現論英語版ローレンツ群の表現論英語版を参照。

脚注[編集]

  1. ^ Warner (1972)
  2. ^ Reed and Simon (1975)
  3. ^ Sally, Paul J. Jr., Fundamentals of Mathematical Analysis. pg. 234.

参考項目[編集]

参考文献[編集]

  • Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness, Academic Press, ISBN 0-12-585002-6 
  • Warner, Garth (1972), Harmonic Analysis on Semi-simple Lie Groups I, Springer-Verlag, ISBN 0-387-05468-5