群環

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数学において、群環(ぐんかん、group ring)あるいは群多元環(ぐんたげんかん、group algebra)とは、与えられたの元を生成元とし、適当なを係数にもつ自由加群のことである。群環は、特に有限群の表現論において重要な役割を果たす代数的構造である。

定義[編集]

二つの定義[編集]

可換環 R を係数として有限個の形式和

r1g1 + r2g2 + … + rkgk (riR, giG (1 ≤ ik))

を作り、積は G の積を線型に拡張した


\left( \sum_{f \in G} s_f f \right) \left( \sum_{g \in G} r_g g \right) = \sum_{f, g \in G} s_f r_g fg = \sum_{h = fg} s_f r_g h

と定義すると、その全体 R[G]RG とも書かれる)は R 上の多元環(ブルバキでいうところの線型環)になる。これを GR 係数の群環または群多元環とよぶ。

一方、群 G から可換環 R への写像 f: GR で、有限個の例外を除き f(g) = 0 (gG) となるようなものの全体を R(G) とする。 R(G) に和と積を各点 g ごとに

(f + h)(g) = f(g) + h(g)
(f\ast h)(g) = \sum_{\gamma\in G}f(g\gamma^{-1})h(\gamma)

で定めると、R(G)R 上の多元環となる。ここでの積は畳み込み(の一種)である。積が畳み込みであることを強調して、畳み込み多元環 (convolution algebra) という場合がある。この多元環も GR を係数とする群環と呼ぶ。

二つの定義の関係[編集]

R[G] の元 x = r1g1 + r2g2 + … + rkgk に対して、写像 fx : GR

g = gi のとき fx(g) = ri (1 ≤ ik) とし、それ以外のとき fx(g) = 0

とおいて定義すると fxR(G) である。 このとき、対応 x \mapsto f_xR[G] から R(G) への同型写像となる。

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巡回群 G = 〈 g | g3 = 1 〉 を取り、ω = exp(2πi/3) とおく。 このとき

\begin{align}
e_1 &= \tfrac{1}{3}(1 + g + g^2) \\
e_2 &= \tfrac{1}{3}(1 + \omega g + \omega^2 g^2) \\
e_3 &= \tfrac{1}{3}(1 + \omega^2 g + \omega g)
\end{align}

と群環 CG の元を定めると、これらは中心的直交原始冪等元分解 1 = e1 + e2 + e3 を与え、次の直既約分解と同型が得られる。


\mathbb{C}G = e_1 \mathbb{C}G \oplus e_2 \mathbb{C}G \oplus e_3 \mathbb{C}G \cong
\begin{pmatrix} \mathbb{C} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbb{C} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbb{C} \end{pmatrix}

性質[編集]

マシュケの定理
有限群 G の位数が F標数と互いに素なとき、あるいは標数 0 のとき、群環 FG半単純である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • J. L. Alperin; Rowen B. Bell (1995). Groups and representations. Graduate texts in mathematics. 162. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94526-1.