群環

数学において、群環（ぐんかん、group ring）あるいは群多元環（ぐんたげんかん、group algebra）とは、与えられた群の元を生成元とし、適当な環を係数にもつ自由加群のことである。群環は、特に有限群の表現論において重要な役割を果たす代数的構造である。

定義 [編集]

G を群とし、G の有限個の元の形式的な和

g₁ + g₂ + … + g_k (g_i ∈ G (1 ≤ i ≤ k))

の全体の成す集合（G の生成する自由加群）を考え Z[G] または ZG であらわす。 Z[G] における積は G の積を線型に拡張したものと定義すると Z[G] は環となる。それを群 G の群環と呼ぶ。

可換環 R を係数として同様の和

r₁g₁ + r₂g₂ + … + r_kg_k (r_i ∈ R, g_i ∈ G (1 ≤ i ≤ k))

を作れば、その全体 R[G] は R 上の多元環（ブルバキでいうところの線型環）になる。これを G の R 係数の群環または群多元環とよぶ。

一方、群 G から可換環 R への写像 f: G → R で、有限個の例外を除き f(g) = 0 (g ∈ G) となるようなものの全体を R(G) とする。 R(G) には点 g ごとに和と積が

(f + h)(g) = f(g) + h(g)

$(f*h)(g) = \sum_{\gamma\in G}f(g\gamma^{-1})h(\gamma)$

と定義され、R(G) は R 上の多元環となる。ここでの積は畳み込み（の一種）である。積が畳み込みであることを強調して、畳み込み多元環 (convolution algebra) という場合がある。この多元環も G の R を係数とする群環と呼ぶ。

R[G] の元 E = r₁g₁ + r₂g₂ + … + r_kg_k に対して、写像 f_E: G → R を

g = g_i のとき f_E(g) = r_i (1 ≤ i ≤ k) とし、それ以外のとき f_E(g) = 0

とおいて定義すると f_E ∈ R(G) である。このとき、対応 E → f_E は R[G] から R(G) への同型写像となる。