円分多項式

円分多項式（えんぶんたこうしき）とは1の冪根に関連のある多項式である。具体的には次の式で定義される F_n(x) である。

$F_n(x)=\prod_{1 \le k \le n,(k,n)=1}\left(x-\left(\cos\frac{2k}{n}\pi + i \sin\frac{2k}{n}\pi \right) \right)$

この定義からは明らかではないが、これは整数を係数に持つ多項式である。 多項式 xⁿ - 1 は、有理数の範囲内で次のように円分多項式の積として既約分解される。

$x^n-1=\prod_{d|n} F_d(x)\,$

概要

一般に n 次方程式は代数的閉体において、重根を含め n 個の根を持つ。特に、複素数体は代数的閉体であるから、方程式 xⁿ - 1 = 0 は複素数の範囲で n 個の根を持つ。

ところで、ド・モアブルの定理より

$(\cos\theta + i \sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\,$

である。故に

$\cos\frac{2k}{n}\pi + i \sin\frac{2k}{n}\pi$

は xⁿ - 1 = 0 の根となる。k を 1 から n まで変化させると上記の式は n 個の異なる根を与えるのでこれが全ての根である。これらの根をガウス平面に描くと各根は単位円上の弧を n 等分する点になる。これが円分多項式と呼ばれる所以である。

例えば、x⁴ - 1 = 0 は i, -1, -i, 1 の4つの根を持ち、k=1,2,3,4 に対応する。1 と -1 は2乗すると 1 になるので、x² - 1 = 0 の根でもある。一方、i, -i は4乗しなければ1とならない。その2つを根に持つ方程式が F₄(x) = x² + 1 である。このように n 乗して初めて 1 となる複素数（1 の原始 n 乗根）全てを根に持ち、最高次数の項の係数が 1 である多項式が円分多項式 F_n(x) である。

n 乗して初めて 1 になる条件は k と n が互いに素なことであるため、冒頭の定義が与えられる。計算上は、定義からすぐに得られる帰納的関係式

$F_n(x) = \frac{x^n-1}{\prod_{d|n,d \neq n}F_d(x)}$

またはメビウスの反転公式により得られる

$F_n(x) = \prod_{d|n}(x^{n/d}-1)^{\mu(d)}\,$

が有用である。

性質

実際に円分多項式を計算すると以下のようになる。

$\begin{align} F_{1} &=& x-1 \\ F_{2} &= (x^2-1)/F_1 =& x+1\\ F_{3} &= (x^3-1)/F_1 =& x^2+x+1\\ F_{4} &= (x^4-1)/F_1F_2 =& x^2+1\\ F_{5} &= (x^5-1)/F_1 =& x^4+x^3+x^2+x+1\\ F_{6} &= (x^6-1)/F_1F_2F_3 =& x^2-x+1\\ F_{7} &= (x^7-1)/F_1 =& x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ F_{8} &= (x^8-1)/F_1F_2F_4 =& x^4+1\\ F_{9} &= (x^9-1)/F_1F_3 =& x^6+x^3+1\\ F_{10} &= (x^{10}-1)/F_1F_2F_5 =& x^4-x^3+x^2-x+1\\ F_{11} &= (x^{11}-1)/F_1 =& x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ F_{12} &= (x^{12}-1)/F_1F_2F_3F_4F_6 =& x^4-x^2+1\\ \end{align}$

円分多項式の次数はその性質上オイラーのφ関数を用いれば φ(n) に等しい。また、上記の例では係数が 1, -1, 0 しか現れないが、必ずしもそういうわけではなく、実際 F₁₀₅(x) では係数に 2 が現れる。

円分多項式の係数の大きさについて知られている最良の結果は次のものである。

$F_n(x)=\sum_{m=0}^{\varphi(n)}a_{nm}x^m$

とおく。このとき、 m が大きいならば、

$c_1 m^{1/2}(\log m)^{-1/4}<\log\max_{n} |a_{nm}|<c_2 m^{1/2}(\log m)^{-1/4}$

を満たす定数 c ₂> c ₁> 0が存在する(Montgomery and Vaughan 1985)。

n が素数のときは係数が全て 1 の n-1 次の多項式となる。

任意の円分多項式の全ての根は、いくつかの有理数から出発して四則と冪根を繰り返すことにより表せることが知られている。実際、F_n(x) のガロア群は Z/n Z の乗法群、つまり位数 φ(n) の巡回群である。特に n がフェルマー素数のときは、冪根として平方根を用いるだけで表すことが可能である。よって長さ 1 の線分が与えられれば、定規とコンパスを使用して半径 1 の円弧を n 等分する線分が作図可能である。

円分多項式の値

a を整数とし、g を a の p を法とする位数とするとき、p が F_n(a) の素因数であることは $n=gp^e(e\geq 0)$ と書けることと同値である。よって、F_n(a) の素因数は n の約数であるか、または n を法として 1 と合同である。 このことから、任意の整数 n に対して、n を法として 1 と合同である素数が無限に多く存在することが導かれる。これはディリクレの算術級数定理の特別な場合である。

F_n(a) は少数の例外を除いて必ず n を法として 1 と合同である素因数を持つ。実際、

$F_n(x, y)=\sum_{m=0}^{\varphi(n)}a_{nm}x^my^{\varphi(n)-m}$

とおくと、次のことが知られている。

• a , b を p と互いに素な整数とし、g を p が $a^g-b^g$ を割り切る最小の g とするとき、p が F_n(a, b) の素因数であることは $n=gp^e(e\geq 0)$ と書けることと同値である。
• a > b を p と互いに素な正の整数とする。 F_n(a, b) は F₆(2, 1)=3, F₁(a, a-1)=1, F₂(a, b)= a + b, （最後の場合において、 a, b は奇数で a + b は2の冪）となる場合を除いて、必ず n を法として 1 と合同である素因数を持つ。

  なお、この場合には、そのような素因数を p とし、 $n=gp^e(e\geq 0)$ とおくと、 p > n より e =0、すなわち g = n でなければならない。すなわち、 n は p が $a^n-b^n$ を割り切る最小の n である。この結果はさらに一般化される（リュカ数列を参照）。

参考文献

• R. D. Carmichael, On the numerical factors of the arithmetic forms $\alpha^n\pm\beta^n$, Ann. of Math. 15 (1913), 30--70.
• H.-J. Kanold, Sätze über Kreisteilungspolynome und ihre Anwendungen auf einige zahlentheoretische Probleme I, J. reine angew. Math. 187(1950), 169--182.
• K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzreste, Monatsh. Math. 3(1892), 265--284.