標数

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標数(ひょうすう、: characteristic)は、あるいはの特徴を表す非負整数のひとつ。整域の標数は 0 または素数に限られる。

定義[編集]

R単位元を持つ環(単位的環)、1R をその乗法単位元とする。また、正整数 n に対し

n\,1_R := 1_R + 1_R +\dotsb + 1_R (n 個の和)

と定めるとき、 n 1R = 0R (0RR零元)なる整数 n > 0 が存在するならば、その最小値を環 R標数という。他方、このような n が存在しないとき、環 R の標数は 0 と定める。標数が 0 でないことを表すのに正標数という用語を用いることもある。環 R の標数をしばしば ch(R), char(R) のように記す。

素整域・素体[編集]

R を任意の単位的環とする。単位的環 R の(単位的環としての)部分環は必ず単位元 1R を含む。したがって、1R の生成する環は全ての部分環に含まれ、R の最小の部分環となる。単位元 1R の生成する単位的環を単位的環 R素環(そかん、prime ring)という。ここで、写像

\varphi_R\colon \mathbb{Z} \to R;\, n \mapsto n\,1_R

を 0 および負の整数 m = −n (n > 0) に対しては

\varphi_R(0) = 0_R,\quad \varphi_R(m) = -(n\,1_R)

と定めることによって定義する。このとき、φR は環の準同型を定め、像 φR(Z) = { n 1R | nZ } は素環に一致する。一方、準同型 φR Ker(φR) = { nZ | n 1R = 0 } は Zイデアルを成すが、Zユークリッド整域ゆえ、Ker(φR) は単項イデアルで、その正の生成元はそのイデアルに属する最小元、つまり R 自身の標数 char(R) に一致する。以上より、環の準同型定理により R の素環は m = char(R) を法とする剰余環 Z / m Z に同型である(ただし Z 自身は 0 を法とする剰余環と見なす)。

さらに単位的環 R整域であるとき、素環 φR(Z) は整域を成す。これを整域 R素整域と呼ぶ。像が整域であることから、この準同型 φR の核は Z素イデアルで、したがって {0} または素数 p の生成する単項イデアル (p) = p Z の形に書ける。ゆえに、いずれの整域についてもその標数は 0 か素数に限られる。

素体(そたい、prime field)は自分自身以外に部分体を持たない体のことである。体は整域であるから、上で見たことから F が正標数 p の体ならば F は必ず Z / p Z に同型なる素整域を含む。一方、Z / p Z は体であるので、正標数の体の素整域はそれ自身が素体となる。F の標数が 0 の場合には、有理整数環 ZF に含まれるが、商環の普遍性により Z の商体である有理数体 Q に同型なる体が F に含まれる。よって Q は標数 0 の素体である。ゆえに、素体は Q および Z / p Zp は素数)によって(同型の違いを除いて)すべて尽くされているということができる。また、ここから標数 0 の体は必ず Q を含むので無限体であり、有限体は必ず正標数を持つことも確認できる。

[編集]

  • Z / m Z の標数は m である。
  • 複素数C の標数は 0 である。
  • 順序体の標数は 0 である。
  • 有限体 F の位数が素数 p pf ならば、F の標数は p である。逆に、標数 p の有限体の位数は必ず p の冪になる。
  • 有限体 F 上の多項式F[x] やローラン級数F((x)) などは正標数の無限整域・無限体の例である。
  • 標数が素数 p である整域 R の元 x,y に対し、二項定理により (x + y)p = xp + yp が成り立つため、写像 Frob: RR, Frob(x) = xp は環準同型となる。Frob はフロベニウス写像と呼ばれ、体論で重要な役割を果たす。

性質[編集]

ある環 R とその任意の部分環 S に対して、S の標数は R の標数に等しい。 一方、剰余環の標数は元の環の標数に等しいとは限らない。例えば、p-進整数環 ZpZ を部分環として含み、標数 0 であるが、その唯一の極大イデアル p Zp による剰余環は Z / p Z に同型で標数は p である。環 R とそのイデアル I (とくに、DVRとその極大イデアル)に対し、 RR/I の標数が等しい状況を等標数、異なる状況を混標数とよぶことがある。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]