イデアル

イデアルまたはイデヤル (ideal) は環論における重要な概念である。

定義

環 R の部分集合 I が、加法群としての部分群であり、R のどの元を左（右）からかけても、また I に含まれるとき、I を左（右）イデアルという。言い換えると、R の部分集合 I が左（右）イデアルであるとは、I が R の左（右）加群としての部分加群であることをいう。左イデアルかつ右イデアルであるものを、両側イデアルまたは単にイデアルという。R が可換環である場合はこれらの概念は全て一致するため、単にイデアルと呼ばれる。以下に述べるように、群を正規部分群で類別することによって剰余群を得るのと同様に、環を両側イデアルで類別することによって剰余環を得る。

I を環 R の両側イデアルとする。

$a \sim b \iff a - b \in I$

によって二項関係 ∼ を定義すると、これは同値関係になる。この同値類には自然に演算が定義できて、環になることが分かる。新しく作られたこの環を R のイデアル I による剰余環と呼び、R/I と書く。商環と呼ばれる場合もある。

環の準同型の核はイデアルであり、逆にイデアルはある環準同型の核になる。群の場合と同じように、環についても準同型定理が成り立つ。すなわち、

f : R₁→R₂ が準同型ならば、R₁ の核による剰余環 R₁/Ker f は準同型の像 Im f と同型である。

例と重要な概念

• 環 R 自身と {0} はイデアルである。この二つのイデアルを自明なイデアルと呼ぶ。
• 有理整数環（整数のなす環のこと）Z において、n を有理整数とすると、n の倍数全体の集合 nZ = {a | b ∈ Z, a = nb} はイデアルになる。一般に、一つの元から作られるこのようなイデアルを単項イデアル (principal ideal) という。Z は整域であり、Z のイデアルは、単項イデアルしかない。このように、全てのイデアルが単項イデアルになる整域を単項イデアル整域 (principal ideal domain) という。
• n 次正方行列全体の成す非可換環 R において、最後の列が全て 0 である行列全体の成す集合は左イデアルであるが、右イデアルではない。また、最後の行が全て 0 である行列全体の成す集合は右イデアルであるが、左イデアルではない。

以下、簡単のため、可換環における概念について述べる。

• イデアル I が極大イデアル (maximal ideal) であるとは、I≠R であり、I を真に含むようなイデアルは R のみであることをいう。可換環の極大イデアルによる剰余環は体になる。
• イデアル I が素イデアル (prime ideal) であるとは、ab ∈ I ならば a ∈ I または b ∈ I が成り立つことをいう。素イデアルは素数を一般化した概念とみなせる。例えば、p を素数とするとき、pZ は素イデアルである。可換環の素イデアルによる剰余環は整域になる。極大イデアルは素イデアルである。
• イデアル I が準素イデアル (primary ideal) であるとは、ab ∈ I かつ a が I の元でなければ、ある自然数 n が存在して bⁿ ∈ I が成り立つことをいう。素イデアルは準素イデアルである。

性質

• 任意のイデアルは零元を含む。
• 環 R のイデアル I が R に等しいための必要十分条件は、I が単位元を含むことである。
• R 以外のイデアル全体の集合は、包含関係による順序が入るため、ツォルンの補題より、任意のイデアルはある極大イデアルに含まれる。

イデアルの演算

I, J を環 R の左（右）イデアルとする。I, J の和を

$I+J:=\{a+b \,|\, a \in I,\, b \in J\}$

で定義すると、これは I, J を含む左（右）イデアルのうち最小のものである。また、I と J の積集合 I ∩J は I, J に含まれる左（右）イデアルのうち、最大のものである。しかし、和集合 I ∪J は必ずしもイデアルにならない。I と J が共に両側イデアルのとき、それらの積を

$IJ:=\{a_1b_1+ \cdots + a_nb_n \,|\, n \in \mathbb{N},\, a_i \in I,\,b_i \in J\}$

で定義すると、これはまた両側イデアルであり、I ∩ J に含まれる。積の定義は、単なる I の元と J の元の積ではなく、その有限和全体の集合であることに注意する必要がある。これらの間の包含関係をまとめると次のようになる。

$IJ \subset I \cap J \subset I\,(J) \subset I \cup J \subset I+J$

ただし、最初の包含関係は、I, J が両側イデアルの場合である。

歴史

19世紀のドイツの数学者であるクンマーはフェルマーの最終定理を証明しようと研究していた。その中で彼は、代数的整数に関しては有理整数の場合のような素因数分解の一意性が必ずしも成り立たないという問題に直面した。

有理整数環 Z においては 6 = 2 × 3 であって、順序の入れ替え (3 × 2) を除いては他の素因数分解は存在しない。しかし、代数的整数の場合はそうではない。

クンマーが扱ったのは奇素数 p に対する p-分体の整数環の場合であったが、以下ではより単純な例として次のような環を考える。ただし、i は虚数単位である。

$R = \mathbb{Z}[\sqrt{5}\,i] = \left\{a+b\sqrt{5}\,i\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}$

この環には 6 の分解は2通り存在する。

• 6 = 2 × 3
• 6 = (1+√5 i) × (1-√5 i)

1 ± √5 i がこれ以上分解できないことは、乗算における絶対値に注目すれば容易に証明できる。

クンマーは、これはまだ分解が十分でないために起きると考えた。例えば有理整数環 Z においても、12 = 3 × 4 = 2 × 6 のように、分解が十分でなければ2通りの分解が発生する。これは 12 = 2×2×3 と完全に分解しなければならない。これと同様に、上記の環 R においてもより根元的な分解 6 = A × B × C × D が存在し、

2 = A × B

3 = C × D

1+√5 i = A × C

1-√5 i = B × D

なのであろうというのがクンマーの基本的な発想である。

もちろん A, B, C, D は R の元ではありえない。クンマーは、x² + 1 の分解のためには -1 の平方根を含むより広い領域が必要となるように、R の元が上のように完全に分解されるより広い領域が存在すると考えた。そしてこの A, B, C, D のような理想的な分解を与える因子を 理想（複素）数 (ideale complexe Zahl) あるいは理想因子（ideal Primfactor) と名付けて、理想数の理論を築いた。

クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。歴史的には、ヒルベルトの『数論報告』の中で、デデキントのイデアル概念が取り上げられたことから、イデアルという名称が採用されることになった。イデアル (Ideal) とは、明らかに理想数に由来する名前である。

現代の環論の言葉で言うなら、先の 6 の分解に対するクンマーの考えは次のようなことに相当する。

A = 2R + (1+√5 i)R,

B = 2R + (1-√5 i)R,

C = 3R + (1+√5 i)R,

D = 3R + (1-√5 i)R

とすれば、

6R = A × B × C × D

であり、

2R = A × B

3R = C × D

(1+√5 i)R = A × C

(1-√5 i)R = B × D

すなわち、6 という元の素因数分解を考えるのではなく、6 により生成されるイデアルの素イデアル分解を考えることが適当だったのである。

また、現代の環論では2, 3, 1+√5 i, 1-√5 i はそもそも R における 6 の素因数ではない。これらのように「これ以上分解できない元」は既約元と呼ばれ、素数の一般の概念である素元とは区別される。詳しくは環 (数学)を参照のこと。

なお、理想数の理論の考え方は、現代ではイデアル論の他に p-進体の理論にも継承されている。

関連項目

• アルティン環
• ネーター環
• デデキント環
• en:Ideal (order theory)
• en:Ideal (set theory)