素イデアル

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素イデアルは、イデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数素元)の概念の拡張としてデデキントによって代数体整数環に対して定義された[1]。このときすべてのゼロでない(整)イデアルは素イデアルの有限個の積として一意的に書ける(イデアル論の基本定理)。概型(スキーム)の理論は、図形の上の関数の成すから下の空間を構成するという idea がもとになっているが、その時に、その素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。

可換環に対して[編集]

定義[編集]

可換環 R のイデアル PR が素イデアルであるとは、

  • a, bR, abP のとき、aP または bP

を満たすことを言う[2]

例と性質[編集]

  • 整数環 \Z において、素数 p の倍数全体が成すイデアル。一般に、 A において、その素元 p が生成するイデアル pA は (0) でない素イデアルになる。これは逆も正しい。
  • 一般に、A,Bf\colon A\rightarrow B準同型としたとき、f による、B の任意の素イデアルの引き戻しは、A の素イデアルになる。
  • 可換環 A のイデアル I が素イデアルであることと、剰余環 A/I が整域であることは同値である[2]
  • デデキント整域のすべての 0 でない真のイデアルは、素イデアルの積に一意的に分解する[2]

局所化[編集]

A を環、P をその素イデアルとすると、集合 S=A\setminus P積閉集合となる。S による A局所化 S^{-1}AA_P と書く。これは PA_P極大イデアルとする局所環となる。その剰余体 A_P/PA_Pk(P) などと書くこともある。

可換とは限らない環に対して[編集]

定義[編集]

単位的環 Rイデアル P素イデアルであるとは、

PR かつ、任意のイデアル A, BR に対して、ABP ならば AP または BP

を満たすことを言う。

性質[編集]

イデアル PR に対して以下の条件は同値である[3][4]

  • P は素イデアル
  • a, bR に対し、(a)(b) ⊆ P ならば aP または bP (ここで、(a) = RaR
  • a, bR に対し、aRbP ならば aP または bP
  • 左イデアル A, B に対し、ABP ならば AP または BP
  • 右イデアル A, B に対し、ABP ならば AP または BP
  • R/P素環

R の素イデアルのなす集合は Spec(R) と表される。特に単純環素環なので極大イデアルは素イデアルである。

脚注[編集]

  1. ^ デュドネ 2013.
  2. ^ a b c 堀田 2006.
  3. ^ Lam 2001, Proposition 10.2.
  4. ^ 岩永 & 佐藤 2002, 命題7-3-1.

参考文献[編集]

関連項目[編集]