素イデアル

素イデアルは、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張として出てきたものである。概型(スキーム)の理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するというideaがもとになっているが、その時に、その環の素イデアル1つ1つが、下の空間の点に対応する。

定義　

環$A$の真の（即ち、$A$ と異なる）イデアル$P$が素イデアル であるとは、 $\forall a,b\in A \ \ [ ab\in P \Rightarrow a \in P \ or \ b\in P]$

が成立するときを言う。素イデアルは英語名 prime ideal の頭文字をとって $P$ や近い文字で表すことが多い。

以下、環は全て単位元を持つ可換環とする。この場合が特に大切である。

このとき、上に挙げた素イデアルの定義は以下の条件1,2のどちらとも同値である。

1. 剰余環$A/P$が整域
2. $A$の任意のイデアル$I,J$について、

$IJ\subseteq P \ \Rightarrow I\subseteq P \ or \ J\subseteq P$が 成立する

特に条件の1から、任意の極大イデアルが素イデアルであることがわかる。なぜなら、イデアル$m$が極大イデアルであるための条件は、$A/m$が体であることだから。

具体例

• 整数環 $Z$ において、素数 $p$ の倍数全体

が成すイデアル。一般に、環 $A$ において、 その素元 $p$ が生成するイデアル$pA$ は素イデアルになる。これは逆も正しい。

• 一般に、$A,B$を環、$f:A\rightarrow B$

を環の準同型としたとき、$f$ による、$B$ の任意の素イデアルの引き戻しは、$A$ の素イデアルになる。

定理　

Aを環Rの固有のイデアルとする。Aが素イデアルであるためには商環R/Aが整域をなすことが必要十分である。

局所化

$A$ を環、$P$ をその素イデアルとすると、集合 $S=A\setminus P$ は積閉集合となる。$S$ による $A$ の局所化 $S^{-1}A$ を $A_P$ と書く。これは $PA_P$ を極大イデアルとする局所環となる。その剰余体 $A_P/PA_P$ を $k(P)$ などと書くこともある。

関連項目

• 局所化
• 局所環
• 概型
• 代数幾何学
• 零点定理