素イデアル

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素イデアルは、イデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数素元)の概念の拡張として出てきたものである。概型(スキーム)の理論は、図形の上の関数の成すから下の空間を構成するという idea がもとになっているが、その時に、その素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。

定義[編集]

素イデアル(prime ideal)[編集]

単位的可換環 R のイデアル P が素イデアル(prime ideal)であるとは、

ab ∈ P かつ a ∉ P のとき b ∈ P

を満たす[1]ものを言う。

準素イデアル(primary ideal)[編集]

単位的可換環 R のイデアル P について

ab ∈ P かつ a ∉ P のとき bn ∈ P を満たす自然数 n が存在する

が成り立つとき、P を準素イデアル(primary ideal)と言う。定義より、素イデアルは準素イデアル(n=1)である。

イデアルの根基(radical)[編集]

単位的可換環 R のイデアル C に対して集合 Rad(C) を

Rad(C) = { x ∈ R | ∃ n ≧ 0 , xn ∈ C }

と定めれば、これはイデアルを成す[2]。上記 Rad(C)[3] をイデアル C の根基(radical)と呼ぶ。

各概念の諸性質[編集]

単位的可換環 R のすべてのイデアルからなる集合を J とする。J は ∩ を交わり、+ を結びとする有界束をなす。

素イデアルの性質

P は単位的可換環 R の素イデアルであるという命題は以下と同値である。

  1. 剰余環 R/P は整域[4]
  2. C , D ∈ J 、CD ⊆ P 、 C ⊈ P のとき D ⊆ P が成り立つ
根基(radical)の性質

単位的可換環 R のイデアル C , D ∈ J に対して以下が成り立つ。

  1. C ⊆ Rad(C)[5]
  2. Rad(Rad(C)) = Rad(C)[6]
  3. Rad(CD) = Rad(C ∩ D) = Rad(C) ∩ Rad(D)[7]
  4. Rad : JJ[8] は交わり保存写像(従って順序保存性も持つ)[9]

具体例[編集]

  • 整数環 Z において、素数 p の倍数全体

が成すイデアル。一般に、 A において、 その素元 p が生成するイデアルpA は素イデアルになる。これは逆も正しい。

  • 一般に、A,Bf:A\rightarrow B

準同型としたとき、f による、B の任意の素イデアルの引き戻しは、A の素イデアルになる。

局所化[編集]

A を環、P をその素イデアルとすると、集合 S=A\setminus P積閉集合となる。S による A の局所化 S^{-1}AA_P と書く。これは PA_P を極大イデアルとする局所環となる。その剰余体 A_P/PA_Pk(P) などと書くこともある。

脚注[編集]

  1. ^ 以下のように等価な命題として定義されることも多い。
    ab ∈ P のとき a ∈ P または b ∈ P
    (等価性の証明)
    A : ab ∈ P、 B : a ∈ P、 C : b ∈ P とする。
    A ∧ ¬B → C
    = ¬(A ∧ ¬B) ∨ C
    = ¬A ∨ ¬¬B ∨ C
    = ¬A ∨ B ∨ C
    = ¬A ∨ (B ∨ C)
    = A → (B ∨ C)
  2. ^ (証明)
    r ∈ R , a ∈ Rad(C) のとき、ra ∈ Rad(C)
    r ∈ R , a ∈ Rad(C) のとき、an ∈ C となる自然数 n ∈ N が存在し、C は R のイデアルであるので、
    (r・a)n = rn・an ∈ C
    すなわち、ra ∈ Rad(C)
    a , b ∈ Rad(C) のとき、a+b ∈ Rad(C)
    a , b ∈ Rad(C) のとき、an , bm ∈ C となる自然数 n , m ∈ N がそれぞれ存在するとする。
    (a+b)n+m を展開したものの各成分は aμbν(ただし、μ+ν=n+m)からなる。
    μ > 0 , ν > 0 であるので、aμbν の各成分について μ ≧ m または ν ≧ n が成り立つ。
    すなわち、aμ ∈ C または bν ∈ C が成り立つので aμbν ∈ C
    従って、(a+b)n+m ∈ C であり a+b ∈ Rad(C)
    上記より Rad(C) は単位的可換環 R のイデアル。
  3. ^ \sqrt{C} と表されることも多い。
  4. ^ この命題から、任意の極大イデアルが素イデアルであることがわかる。なぜなら、イデアル M が極大イデアルであるための条件は、R/M がであるためである。
  5. ^ 定義から a ∈ C ならば a ∈ Rad(C) であるため。
  6. ^ (証明)
    根基の定義より、Rad(C) ⊆ Rad(Rad(C)) であるので、Rad(Rad(C)) ⊆ Rad(C) を示せばよい。
    a ∈ Rad(Rad(C)) のとき an ∈ Rad(C) である自然数 n が存在する。
    an ∈ Rad(C) であるので、(an)m ∈ C を満たす m が存在する。
    (an)m = anm ∈ C となり nm は自然数であるので、根基の定義より a ∈ Rad(C)
    よって Rad(Rad(C)) ⊆ Rad(C)
    すなわち、Rad(Rad(C)) = Rad(C)
  7. ^ (証明への整理)
    (1)Rad(CD) ⊆ Rad(C ∩ D) ⊆ Rad(C) ∩ Rad(D)
    (2)Rad(CD) ⊇ Rad(C) ∩ Rad(D)
    以上2つの命題を示せば良い。
    (1)の証明
    まず、Rad(CD) ⊆ Rad(C ∩ D) を示す。
    イデアル演算の性質から、CD ⊆ C ∩ D であり、Rad は順序を保存するので
    Rad(CD) ⊆ Rad(C ∩ D) が示された。
    次に、Rad(C ∩ D) ⊆ Rad(C) ∩ Rad(D) を示す。
    定義より a ∈ Rad(C ∩ D) のとき an ∈ C ∩ D を満たす自然数 n が存在する。
    さらに、an ∈ C ∩ D のとき an ∈ C かつ an ∈ D
    従って、a ∈ Rad(C) かつ a ∈ Rad(D) すなわち a ∈ Rad(C) ∩ Rad(D)
    よって、Rad(C ∩ D) ⊆ Rad(C) ∩ Rad(D) であり、(1)が示された。
    (2)の証明
    b ∈ Rad(C) ∩ Rad(D) のとき bn ∈ C , bn ∈ D を満たす自然数 n が存在する。
    従って、bnbn = b2n ∈ CD となり b に対して自然数 2n が定まり b2n ∈ CD が成り立つ。すなわち、b ∈ Rad(CD)
    よって、Rad(CD) ⊇ Rad(C) ∩ Rad(D) であり、(2)が示された。
    上記より(1)かつ(2)は真であり、元の命題が真であることが導きだされる。
  8. ^ ただし、
    Rad:JJJ の元 C に対してその根基 Rad(C) を割り当てる集合写像
    とする。
  9. ^ (証明)
    C , D ∈ J のとき Rad(C ∩ D) = Rad(C) ∩ Rad(D) が成り立つことから Rad : JJ は交わり保存写像
    (順序保存性の証明)
    C , D ∈ J , C ⊆ D のとき Rad(C) ⊆ Rad(D) を示せば良い。
    交わり演算による順序関係(包含関係)模倣性より包含関係 C ⊆ D と関係 C ∩ D = C は同等。したがって、Rad の交わり保存性より
    C ∩ D = C のとき Rad(C) ∩ Rad(D) = Rad(C) つまりは Rad(C) ⊆ Rad(D) が示されたこととなる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • D.G.Northcott 『Northcottイデアル論入門』 新妻弘(訳)、共立出版、2007年
  • ガーレット・バーコフ, ソンダース・マクレーン 『現代代数学概論 改訂第3版』 白水社、1967年