同値関係

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同値関係(どうちかんけい、: equivalence relation)とは、2 つの対象が "ある意味で" 同じである、あるいは同一視できるという関係を一般化した概念である。

例えば、整数 5と 12を 7で割った余りは共に 5である。5 と 12は異なる整数であるが、曜日(七曜)を扱う問題においては「同じもの」とみなす方がよい場合もある。数学に於いてはこのように、様々な「ある意味で同じ」という関係を考える必要がある。そこで「ある意味で同じ」という関係を一般化して考えるために、「同値関係」という名前を付けてそれらを総称する。

定義[編集]

ある集合 S において、二項関係 \sim が次の性質を満たすとき、\simS同値関係であるという。

上の3項をまとめて同値律という。\sim が同値関係であるとき、a \sim b であることを、ab同値であると言い表す。

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  • 相等関係 (=):集合としてあるいは集合の元として同じである。表現形式や構成要素が同一である。
  • 図形合同関係:裏表や向きの違いを無視して、図形として同じである。
  • 図形の相似関係:裏表・向き・大きさの比率の違いを無視して、図形の "形" としては同じである。
  • 量の比例関係:増え方・減り方の割合としては同じである。
  • 整数合同関係:ある数で割った余りが同じである。
  • 集合A から 集合B への写像 f を考えたときに a~bf(a) = f(b) で決まる集合 A の元の間の関係 ~:fで写った先の B の元としては同じである。

以下のものは一般には、類における "関係" となる。

  • 集合の濃度の対等 "関係":集合の中身は別として、集合の大きさとしては同じである。
  • 命題同値であるという "関係":二つの命題において、真偽(真理値)が同じである、または互いに片方から他方を証明できる。

諸概念[編集]

同値類[編集]

集合 S の上に同値関係 ~ が定義されているときには、ある S の元 a に対して a に同値である元を全て集めた集合を考えることができる。この S の部分集合を a代表元(だいひょうげん、: representative)とする同値類(どうちるい、: equivalence class)と呼び、普通 [a], a, C(a) などと書く。

[a] = \bar{a} = C(a) = \{ x \in S \mid a \sim x\}.

また、一つの同値類 X に対して、[x] = X となる S の元 x を定めることを、X の代表元として x をとるという。1 つの同値類は、それに含まれている元のうちどれをとっても、それを代表元とする同値類はもとと同じ集合になる(代表元の取替えによって不変である):

X = [x],\ y \in X \iff y \in [x] \iff x \sim y \iff x \in [y] \iff [y] = X,\, x \in X.

よって一般には、同値類の性質を代表元の性質のみによって記述することはできない。

商集合[編集]

集合S の同値関係~に関する同値類全体のなす集合を、S同値関係~で割った集合、あるいは S の ~ による商集合(しょうしゅうごう、: quotient set)と呼び、

S/{\sim} := \{[x] \mid x \in S\}

と表す。集合 S の元にそれが属する同値類を対応させることで、商集合への全射

\pi\colon S \to S/{\sim};\ x \mapsto [x]

が自然に与えられる。これを同値関係 ~ に付随する標準射影あるいは自然な射影自然な全射などと呼ぶ。また、S の相異なる同値類からはひとつずつ、全部の同値類から代表元を取り出して作った S の部分集合を、集合 S における同値関係 ~ の(あるいは商集合 S / ~ の)完全代表系(かんぜんだいひょうけい、: complete system of representatives)と呼ぶ。つまり、S の部分集合 A が同値関係 ∼ に関する完全代表系であるとは、包含写像と標準射影の合成

A \hookrightarrow S \to S /{\sim};\ a \mapsto a \mapsto [a]

が全単射となることである。

類別[編集]

集合 S に対して、S部分集合M で、M に属するどの 2 つの相異なる集合も交わりを持たず、M和集合S 全体に一致するとき、集合族 M を集合 S類別(るいべつ、: classification)と呼ぶ。

集合 S に同値関係 ~ が定義されているとき、S の同値類を全て集めると、相異なる同値類は互いに交わらず、また S の同値類全体の和集合は S に等しくなる。つまり、AS の一つの完全代表系として、

S = \coprod_{x \in A} [x]

が成り立つので、同値類全体の作る集合は S の一つの類別を与える。これを、同値関係 ~ は同値類によって集合 S を類別(: classify)すると言い表す。逆に S の類別を与えれば、同じ部分集合に属するもの同士は互いに同値であるとして同値関係を定義することができる。つまり、集合の類別を与えることと集合に同値関係を定めることとは互いに等価である。

商集合の例[編集]

整数全体のなす集合 Z に、ab の差 a - b が 3 の倍数であるときまたそのときに限って ab という関係 ≡ を決めると、これは同値関係になる。

この関係によって集合 Z が 3 つの同値類(この場合、剰余類 とも呼ばれる)に分割される。それぞれの同値類は 3 で割り切れるもの全体 [0]、1 余るもの全体 [1]、2 余るもの全体 [2] に対応している。

この商集合は普通 Z / 3Z と書かれ、加法に関するアーベル群になる。また p が素数のとき Z / pZ は自然に演算が定義できて有限体)になる。

同様の例として、商空間(商ベクトル空間)、剰余群(剰余類群、商群)、剰余環(商環)位相空間の商空間などはそれぞれ適当な同値関係による商集合として定義される。

関連項目[編集]