主イデアル整域

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代数学における主イデアル整域（しゅ-イデアル-せいいき、あるいは単項イデアル整域、英: principal ideal domain; PID）あるいは主環（しゅかん、仏: Anneaux Principaux）は、その任意のイデアルが主イデアル（すなわち単項生成）であるような（可換）整域である。より一般に、任意のイデアルが主イデアルであるような（零環でない）可換環を主イデアル環と呼ぶ（この場合、整域とは限らない、つまり零因子をもつかもしれない）が、文献によっては（例えばブルバキなどでは）「主（イデアル）環」という呼称によって、ここでいう「主イデアル整域」のことを指している場合があるので注意。

主イデアル整域はある意味で（可除性に関して）整数全体の成す環のように振舞う数学的対象である。実際、PID の各元は素元の積に一意的に分解される（算術の基本定理に相当する定理が成り立つ）、PID のどの二元に対しても最大公約元が存在する（ただし、ユークリッドの互除法で求められるとは限らない）、などの性質が成り立つ。x, y が PID の元で、公約数を持たないならば、その PID の任意の元が ax + by の形に書ける。

主イデアル整域はネーター環であり、かつ整閉整域である。また、一意分解環であり、デデキント環でもある。任意のユークリッド環および任意の体は主イデアル整域である。

可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体

目次

[編集] 例

主イデアル環の例を挙げる。

主イデアル整域とならない整域の例を挙げる。

  • Z[X]: 整数を係数に持つ多項式全体の成す環。これが PID でないことは、反例として例えば、2 と X で生成されるイデアルが主イデアルとはならないことを見ればよい。
  • K[X,Y]: 体上の二変数多項式環。反例は X と Y で生成されるイデアル (X,Y) など。

[編集] PID 上の加群

詳細は「PID上の有限生成加群の構造定理」を参照

PID 上の加群の構造定理に関する主要な結果は以下のようなものである。

R が主イデアル整域で M 有限生成 R-加群であるならば、M は巡回加群（単項生成加群）の直和に分解される。このとき、各巡回加群は適当な x ∈ R に対する R/xR に同型である[3]。

M が主イデアル整域 R 上の自由加群ならば M の任意の部分加群もやはり自由である。しかしこれを任意の環上の加群に対して考えたものは一般には正しくない。例えば Z[X] のイデアル (2, X) を Z[X] 上の加群としての Z[X] の部分加群と見ると自由でない。

[編集] 性質

主イデアル整域において、任意の二元 a, b は最大公約元をもち、それはイデアル (a, b) の生成元として得られる（整数 a, b の最大公約数をしばしば (a, b) で表すが、これを主イデアルとその生成元の意味で捉えても、記号の上では整合する）。

任意のユークリッド整域は主イデアル整域であるが、逆は正しくない。ユークリッド整域でない主イデアル整域の例として、

\Bbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]

が挙げられる[4][5]。この整域では

(1+\sqrt{-19})=(4)q+r

を満たすような q, r (0 ≤ |r| ≤ 4) は存在しないにもかかわらず 1+\sqrt{-19} と 4 の最大公約数は 2 である。

任意の主イデアル整域は一意分解環 (UFD) である[6][7][8][9]が、逆は真ではない。実際、任意の体 K に対する二変数多項式環 K[X, Y] は UFD だが PID でない（これを示すには、〈X, Y〉 の生成するイデアルを考えればよい。これが環全体に一致しないことは次数 0 の多項式が含まれないことから明らかだが、これを単項生成する元は存在しない）。

  1. 任意の主イデアル整域はネーター環である。
  2. 単位元を持つ任意の環（単位的環）において極大イデアルは素イデアルであるが、主イデアル整域ではこれの逆に近いことが成り立つ。すなわち主イデアル整域の、零イデアルではない任意の素イデアルは極大イデアルである。
  3. 任意の主イデアル整域は整閉である。

これら三つの性質はデデキント整域の定義として掲げられるもので、したがってこれらをまとめると、任意の主イデアル整域はデデキント整域である。

整域 A に対して、以下は同値である。

  1. A は単項イデアル整域である。
  2. A の任意の素イデアルが主イデアルである[10]。
  3. A は UFD かつデデキント整域である。
  4. A の任意の有限生成イデアルが主イデアル（すなわち A はベズー整域）であり、かつ A は主イデアルに関する昇鎖条件を満足する。
  5. A にはデデキント-ハッセ・ノルムが入る[11].


体のノルムはデデキント-ハッセノルムだから、5 番の条件からユークリッド整域が PID であることが従う。4 番の条件は

  • 整域が UFD であるための必要十分条件は、それがGCD整域（すなわち、任意の二元が最大公約元を持つような整域）で、主イデアルに対する昇鎖条件を満足することである。

と類似する条件になっている。整域がベズー整域であるための必要十分条件は、その任意の二元が「その二元の線型結合であるような」最大公約元を持つことである。従って、ベズー整域は GCD 整域であり、ゆえに 4 番の条件は PID が UFD であることの別証明を示すものとなっている。

[編集] 関連項目

[編集] 注意

  1. ^ See Fraleigh & Katz (1967), p. 73, Corollary of Theorem 1.7, and notes at p. 369, after the corollary of Theorem 7.2
  2. ^ See Fraleigh & Katz (1967), p. 385, Theorem 7.8 and p. 377, Theorem 7.4.
  3. ^ See also Ribenboim (2001), p. 113, proof of lemma 2.
  4. ^ Wilson, Jack C. "A Principal Ring that is Not a Euclidean Ring." Math. Mag 46 (Jan 1973) 34-38 [1]
  5. ^ George Bergman, A principal ideal domain that is not Euclidean - developed as a series of exercises PostScript file
  6. ^ Proof: every prime ideal is generated by one element, which is necessarily prime. Now refer to the fact that an integral domain is a UFD if and only if its prime ideals contain prime elements.
  7. ^ Jacobson (2009), p. 148, Theorem 2.23.
  8. ^ Fraleigh & Katz (1967), p. 368, Theorem 7.2
  9. ^ Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p.166, Theorem 7.2.1.
  10. ^ T. Y. Lam and Manuel L. Reyes, A Prime Ideal Principle in Commutative Algebra
  11. ^ Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p.170, Proposition 7.3.3.

[編集] 参考文献

[編集] 外部リンク

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