群の表現

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

のような抽象的な体系と、その系と同種だがより具体的であるような系との間に、系の構造を保存した対応関係を作ることを群の表現(ぐんのひょうげん)という。しかし普通は群の行列による表現を指すことが多い。

群の表現[編集]

Gの各gに対してn次元ベクトル空間V上の線形変換T(g)が対応し、

T(gh)=T(g)T(h)

が成り立つ時、gT(g)に対応させる写像TGV上の表現といい、V表現空間という。すなわち群Gの表現とは「GからV上の線形変換のつくる群への準同型写像」のことである。

表現行列[編集]

表現空間を明示したいときは(T,V)で表現を表す。表現空間の次元n表現の次元という。表現空間Vに適当な基底を導入すれば、T(g)は具体的にn×n行列で書き表せるから、群Gの表現とは「Gから行列群{T(g)}への準同型写像である」といってもよい。このとき行列T(g)gの表現行列と呼ぶ。

つまり群G=\{G_1, G_2, \cdots, G_g\}に対応して行列の集まり\Gamma = \{T(G_1), T(G_2), \cdots, T(G_g)\}があり、群の元の間の積G_k=G_jG_iに対応して行列の間にT(G_k)=T(G_j)T(G_i)が成り立つ時、これらの行列を群Gの表現行列という。

特に全てのT(g)ユニタリー行列であるような表現をユニタリー表現とよぶ(直交行列はユニタリー行列の特別な場合であるから、直交行列による表現もユニタリー表現である)。

恒等表現[編集]

対応g \to T(g)は一般には一対一とは限らない。たとえば全てのg恒等変換を対応させるものも表現であって、恒等表現と呼ばれる。特にg \to T(g)が一対一のときはその表現は忠実な表現であるという。なお全ての群は恒等表現を持つ。

同値な表現[編集]

Gの2つの表現T^{(1)}(g)T^{(2)}(g)が与えられた時、すべてのgに対して相似変換

ST^{(1)}(g)S^{-1}=T^{(2)}(g)

で繋がるような行列Sが存在すれば、表現T^{(1)}(g)T^{(2)}(g)同値であるといい、両者は本質的には同じ表現であると見なすことができる。特に上のSがユニタリー行列の場合は、2つの表現はユニタリー同値であるという。

既約表現[編集]

\{T(g)|g\in G\}で不変な部分空間がV\{0\}以外に存在しないとき、表現(T,V)既約であるという。既約でない表現を可約という。特に表現空間をいくつかの不変部分空間直和に分解できる場合、その表現を完全可約であるという。表現の既約性の判定には次の定理が有用である

TGの既約表現とすると、すべてのT(g)と可換な行列は単位行列の定数倍に限られる(シューアの補題)。

いくつかの表現の直和に分解できるような表現を可約表現、できない表現を既約表現とも言える。

また適当な相似変換によってブロック対角型になる(簡約できる)表現を可約表現、できない表現を既約表現ということもできる。

量子論での群の表現[編集]

量子力学におけるハミルトニアン\hat{H}が、ある変換群Gで不変であるとすると、1つのエネルギー固有値Eに属する\hat{H}固有空間Gのユニタリー表現の表現空間になっている。したがってGの既約なユニタリー表現を知ることで、\hat{H}の固有状態を分類することができる。これが原子分子の状態や素粒子の分類に群論が有力な道具となる理由である。

参考文献[編集]

  • 『物理学辞典』 培風館、1984年