群上の加群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

数学において、与えられた G 上の加群(かぐん、: module over G)または G-加群 (G-module) とは、アーベル群 M であって M の群構造と両立する G作用を持つものをいう。これは G の表現に広く一般に用いることのできる概念である。群コホモロジーG-加群の一般論の研究において重要な道具をいくつも提供する。

G-加群という用語はもっといっぱんに、G が線型に(つまり R-加群の自己同型からなる群として)作用する R-加群に対しても用いられる。

定義と基本事項[編集]

G を群とする。 G-加群あるいは G-左加群は、アーベル群 M に左からの群作用 ρ: G × MM

g\cdot(a + b) = g\cdot a + g\cdot b\quad(g\cdot a := \rho(g,a))

となるものをあわせて考えたものである。 G-加群G-右加群 も右からの作用を考えて同様に定義される。左 G-加群 M が与えられたとき、G の右からの作用を

a\cdot g := g^{-1}\cdot a

で定義することにより、M を右 G-加群にすることができる。

G-加群 M, N の間の写像 f: MNG-加群の準同型あるいは G-線型写像G-準同型であるとは、fG-同変群準同型であるときにいう。

G-加群と G-準同型全体のあつまりはアーベル圏 G-Mod を成し、G-Mod群環 Z[G] 上の左加群の圏と同一視することができる。作用を右からに変えて得られる圏 Mod-G についても同様である。

G-加群 M部分 G-加群あるいはG-部分加群 (G-submodule) または単に(G-加群としての、G の作用まで込めた)部分加群とは、(抽象群としての)部分加群 AM であって G の作用に関して不変、つまり任意の gG に対して、

g\cdot a \in A, \quad (\forall a\in A)

となるものをいう。M とその部分加群 A が与えられたとき、 G-加群あるいは G-商加群または剰余 G-加群あるいは G-剰余加群 (G-quotient module) M/A が、作用を考えない抽象群としての剰余群 M/AG の作用を

g\cdot(m + A) := g\cdot m + A, \quad(g\in G,\, m\in M)

とさだめることによって定まる。

[編集]

  • 任意の群 G に対して、アーベル群 Z有理整数全体が和に関して成す加法群)は、自明な作用 g·a = a に関して G-加群である。
  • MZ 上の二変数二次形式 f(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2a, b, c は有理整数)全体の成す集合とし、GZ 上の二次特殊線型群 SL(2, Z) とする。このとき、
    
 g = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}
    に対し、
    
 (g\cdot f)(x,y) := f((x,y)g) = f(\alpha x+\gamma y,\beta x+\delta y)
    と定めれば MG-加群となる(ただし、(x, y)g は行列の積である)。この G-加群 Mガウスによって研究されたものである。
  • VG K 上の表現ならば、V は(V を加法に関するアーベル群と見て)G-加群である。

位相群上の加群[編集]

G位相群で、M が位相アーベル群のとき、M位相 G-加群であるとは MG-加群であって、(G × M直積位相を入れるとき)作用 G × MM連続であるときにいう。

参考文献[編集]