リー代数

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数学では、リー代数 (Lie algebras)、もしくはリー環 (Lie ring) は[注 1]無限小変換英語版 (infinitesimal transformation) の概念を研究するために導入された代数的構造である。 「リー代数(リー環)」という言葉は、1930年に、ソフス・リーに因んで、ヘルマン・ワイルにより導入された。

関連する数学の概念に、リー群可微分多様体がある。

定義[編集]

リー代数は、ある F 上のベクトル空間 \,\mathfrak{g} であって、リーブラケット (Lie bracket)、あるいは括弧積と呼ばれる、次の公理を満たす二項演算 [\cdot,\cdot] \colon \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g} が与えられている場合を言う。

双線型性
F の全てのスカラー a, b\mathfrak{g} の全て元の x, y, z に対して、
 [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad  [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]\ .
交代性
\mathfrak{g} の全ての x に対し、
 [x,x]=0\ .
ヤコビ恒等式
\mathfrak{g} の全ての x, y, z に対し、
 [x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] = 0\ .


双線型性と交代性により、反交換関係\mathfrak{g} の全ての元 x, y に対し、[x, y] = −[y, x] — が成り立つ。逆に、反交換関係は、体の標数2 ではないとき、交代性があることを意味する[1]

\mathfrak{g} のように、普通、リー代数はフラクトゥールの小文字で表される。 リー代数がリー群に付随していると、リー代数のスペルはリー群と同じにする(書体は異なる)。 例えば、特殊ユニタリ群SU(n) のリー代数は \mathfrak{su}(n) と書かれる。

生成子と次元[編集]

リー代数 \mathfrak{g} の元からなる集合が生成子英語版であるとは、 その集合を含む \mathfrak{g} の最小のリー部分代数が全体 \mathfrak{g} と一致することである。 リー代数の 次元は、F 上のベクトル空間としての次元で定める。 リー代数の最小の生成子の数は、常に次元以下である。

準同型、部分代数、イデアル[編集]

必ずしも [[x,y],z][x,[y,z]] とが等しいとは限らないので、 一般にはリーブラケットは結合法則を満たさない。 しかし、結合的な結合多元環の理論での用語の多くは、リー代数でも共通して使われる。 リーブラケットで閉じている部分空間 \mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}リー部分代数 (Lie subalgebra) と呼ぶ。 部分空間 I\subseteq\mathfrak{g} がより強い条件

[\mathfrak{g},I]\subseteq I

を満たすとき、I をリー代数 \mathfrak{g}イデアルと言う[注 2] 。 (同じ基礎となる係数体の上の)リー代数の間の準同型とは、\mathfrak{g} の全ての元 x, y に対し、交換関係が

 f \colon \mathfrak{g}\to\mathfrak{g'}, \quad f([x,y])=[f(x),f(y)]

と整合している線型写像を言う。 リー代数 \mathfrak{g} とイデアル I が与えられると、環の理論のように、イデアルはちょうど準同型のであり、商代数 (factor algebra) \mathfrak{g}/I を構成することができ、リー代数に対しても同型定理が成り立つ。

S\mathfrak{g} の部分集合とする。 S の全ての元 s に対し [x, s] = 0 となるような元 x の集合は、S中心化部分代数英語版 (centralizer of S) を構成する。\mathfrak{g} 自身の中心化代数は、\mathfrak{g}中心と呼ばれる。 中心化と同様に、S の全ての元 s に対し [x, s]S の元となるような x の集合は、S の部分代数を構成する。この部分代数は S正規化部分代数 (normalizer of S) と呼ばれる[2]

直和[編集]

2 つのリー代数 \mathfrak{g}\mathfrak{g'} が与えられると、それらの直和は、ベクトル空間 \mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'} とペア (x,x'), \,x\in\mathfrak{g} であり、リーブラケットは

 [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']), \quad x,y\in\mathfrak{g},\, x',y'\in\mathfrak{g'}

で定める[3]

性質[編集]

包絡代数を持つ[編集]

* を持つ任意の結合代数 A に対し、リー代数 L(A) を構成できる。 ベクトル空間としては、L(A)A と同じである。L(A) の 2 つのリーブラケットは、次のように A での交換子として定義される。

 [a,b]=a * b-b * a

A での積 * の結合性は、L(A) の交換子のヤコビ恒等式を意味する。 例えば、体 F 上の n × n 行列の結合代数は、一般線型リー代数 (general linear Lie algebra) \mathfrak{gl}_n(F) を生成する。 結合代数 A をリー代数 L(A)包絡代数 (enveloping algebra) と呼ぶ。 全てのリー代数はこの形の結合代数から作られたリー代数へ埋め込まれる。 普遍包絡代数を参照。

表現[編集]

ベクトル空間 V が与えられたとして、\mathfrak{gl}(V) で V の全ての線型自己準同型英語版 (endomorphism) の集合を表すとする。 これは結合的な代数であるので、前のセクションで述べた方法でリー代数である。 V 上のリー代数 \mathfrak{g}表現 (representation) は、リー代数の準同型

\pi \colon \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)

である。 表現は、核が自明のときに、忠実 (faithful) であるという。 全ての有限次元リー代数は有限次元のベクトル空間上で忠実な表現を持っている (アド=岩澤の定理 (theorem of Ado–Iwasawa)[4])。

例えば、\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y] により与えられる \operatorname{ad} は、随伴表現と呼ばれるベクトル空間 \mathfrak{g} 上の \mathfrak{g} の表現である。 リー代数 \mathfrak{g} [注 3]の上の微分英語版(derivation)とは、ライプニッツの法則、すなわち、すべての \mathfrak{g} の元 x, y に対して

\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]

が成り立つ線型写像 \delta:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g} のことである。 ヤコビ恒等式より任意の x に対し、\operatorname{ad}(x) は微分である。 従って、\operatorname{ad} の像は、微分からなる \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}) の部分代数 \operatorname{Der}(\mathfrak{g}) の中にある。 \operatorname{ad} の像の中にある微分は、内部微分と呼ばれる。 \mathfrak{g} が半単純あれば、全て微分は内部微分である。

[編集]

ベクトル空間[編集]

  • 恒等的にゼロに値をとるリーブラケットを持つ任意のベクトル空間 V は、リー代数となる。そのようなリー代数は、以下に示すように、可換なリー代数である。体上の任意の 1 次元リー代数は、リーブラケットの反対称性により、可換である。
  • 全ての n × n 歪エルミートな行列の実ベクトル空間は、 交換子の下に閉じているので、\mathfrak{u}(n) で表される実リー代数を形成する。これはユニタリ群 U(n) のリー代数である。

部分空間[編集]

実行列群[編集]

  • 任意のリー群 G は、付随する実リー代数 \mathfrak{g}=Lie(G) を持つ。一般の定義はいくらかテクニカルであるが、実行列群の場合は、指数写像英語版(exponential map)、もしくは行列のベキを通じて定式化することができる。リー代数 \mathfrak{g} は、全ての実数 t に対して exp(tX) ∈ G となる行列 X から構成される。
\mathfrak{g} のリーブラケットは、行列の交換子により与えられる。具体的な例として、要素が全て実数で行列式が 1 である n × n 行列の特殊線型群 SL(n,R) を考える。これは行列のリー群であり、リー代数は、n × n 行列の要素が実数でトレースが 0 でとなるものと、関係式
 L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f)~.
から構成される。このリー代数は、M の微分同相英語版(diffeomorphism)の擬群英語版(pseudogroup)に関連している。

3次元[編集]

  • ハイゼンベルグ代数英語版(Heisenberg algebra) H3(R) は、3次元リー代数で、次の関係式を満たすリーブラケットを持つ要素 x, y, z で生成される。
[x,y]=z,\quad [x,z]=0, \quad [y,z]=0 .
この代数は、以下の行列交換子により与えられるリーブラケットを持つ 3×3 上半三角行列の空間として、明示的に構成される。

x = \left( \begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
y = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
z = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right)~.\quad
このように、ハイゼンベルグ群英語版(Heisenberg group)の全ての元は、群の生成子の正規として表現可能である。つまり、これらのリー代数の生成子、
\left( \begin{array}{ccc}
1&a&c\\
0&1&b\\
0&0&1
\end{array}\right)= e^{by} e^{cz} e^{ax}~.

行列指数関数として表現される。

[L_x, L_y] = i \hbar L_z
[L_y, L_z] = i \hbar L_x
[L_z, L_x] = i \hbar L_y .
のリー代数 so(3) の複素化英語版(complexification)である。

無限次元[編集]

  • 無限次元の実リー代数は、微分トポロジーで重要である。微分可能多様体 M 上の滑らかなベクトル場の空間はリー代数を構成し、そこではリーブラケットはベクトル場の交換子であると定義される。リーブラケットを表現する方法は、リー微分の定式化を通して、 LX(f) を X 方向の函数 f の方向微分であるとすることにより滑らかな函数の上へ作用する第一階の偏微分作用素を持つベクトル場 X と X を同一視することでなされる。2つのベクトル場のリーブラケット [X,Y] は、次の公式により函数上への作用を通して定義されるベクトル場である。
 L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,

構造論と分類[編集]

リー代数は、ある程度、分類することが可能である。特に、このことはリー群の分類に応用される。

可換性、べき零性、可解性[編集]

部分群の言葉として定義されている、可換群(アーベル群)、べき零群、可解群と似ており、可換リー代数べき零リー代数可解リー代数を定義することができる。

リー代数 \mathfrak{g} は、[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] = 0のとき、つまり、\mathfrak{g} の全ての x と y に対し [x,y] = 0 が成り立つとき、可換であるという。 可換リー代数は、ベクトル空間 K^nトーラスのような T^n のような結合的な(あるいは可換な)連結リー代数に対応していて、自明なリーブラケットをもつ n 次元ベクトル空間を意味する \mathfrak{k}^n の全体である。

リー代数のより一般的なクラスは、与えられた長さの交換子がゼロとすることで定義する。 リー代数 \mathfrak{g} が、べき零英語版(nilpotent)とは、下降列

 \mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > \cdots

が有限回でゼロに達することを言う。 エンゲルの定理英語版(Engel's theorem)の定理により、リー代数がべき零であることと、\mathfrak{g} の全ての元 u に対し、随伴準同型

\operatorname{ad}(u):\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}, \quad \operatorname{ad}(u)v=[u,v]

がべき零であることとは同値である。

さらにより一般的な場合として、リー代数 \mathfrak{g}可解英語版(solvable)とは、導来列英語版(derived series)

 \mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]] > [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]],[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]]]  > \cdots

が有限回でゼロに達することを言う。

全ての有限次元のリー代数は、一意的に最大可解イデアルを持っていて、根基英語版(radical)と呼ぶ。リー対応の下、連結なべき零リー群、連結な可解リー群はそれぞれ、べき零、可解リー代数に対応する。

単純性と半単純性[編集]

リー代数が単純英語版(simple)とは、非自明なイデアルを持たず、可換でないときを言う。 リー代数 \mathfrak{g}半単純とは、根基(radical)がゼロであるときを言う。 同じことであるが、\mathfrak{g} が半単純とは、ゼロでない可換イデアルを持たないときを言う。 特に、単純リー代数は半単純である。逆に、任意の半単純リー代数は最小イデアルの直和であることが証明でき、標準的に単純リー代数により半単純リー代数が決定される。

リー代数の半単純性の概念は、密接に表現の完全既約性(semisimplicity)と関連している。 基礎体 F の標数が 0 のとき、半単純リー代数の任意の有限次元表現は半単純(つまり、既約表現の直和)である。 一般に、リー代数が既約英語版(reductive)とは、随伴表現が半単純であるときを言う。 このように、半単純リー代数は既約である。

カルタンの判定条件[編集]

カルタンの判定条件英語版(Cartan's criterion)は、リー代数がべき零、可解、半単純であるための判定条件を与える。 この判定条件は、キリング形式の考え方を基礎としている。キリング形式とは、

K(u,v)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(u)\operatorname{ad}(v))

で定義された \mathfrak{g} 上の対称双線型形式である。 ここで tr は線型作用素のトレースを表す。 リー代数 \mathfrak{g} が半単純であることと、キリング形式が非退化(nondegenerate)であることとは同値である[6]。 リー代数 \mathfrak{g} が可解であることと、K(\mathfrak{g},[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0 であることとは同値である。


分類[編集]

レヴィ分解英語版(Levi decomposition)は、任意のリー代数を可解な根基と半単純リー代数の半直和英語版(semidirect sum)としてほぼ標準的に表すことができる。 さらに、代数的閉体上の半単純リー代数は、ルート系英語版(root system)を通して完全に分類されている。 しかし、可解リー群の分類には「ワイルド」な問題があり、一般には完成していない[要説明]


リー群との関係[編集]

リー代数は多くの場合それ自体で研究されているが、歴史的にはリー群の研究のための方法として生まれた。

リーの基本定理は、リー群とリー代数の関係を記述している。 特に、任意のリー群はリー代数を標準的に決めるために生まれ(具体的には、「接空間と同一視する」)、逆に任意のリー代数に対し、対応する連結リー群が存在する(リーの第三定理英語版(Lie's third theorem)、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式英語版(Baker–Campbell–Hausdorff formula)を参照)。 このリー代数は一意には決まらないが、同じリー代数をもつ任意の 2つの連結リー群は局所同型であり、特に同じ普遍被覆を持つ。例えば、特殊直交群 SO(3)特殊ユニタリ群 SU(2) は、クロス積をもつ R3 である同じリー代数から生まれる。 SU(2) は SO(3) の単連結な二重被覆である。


リー群が与えられると、随伴写像プッシュフォワード英語版された微分形式と接ベクトル空間 とを同一視するか、もしくは、例の中で述べてように、左不変ベクトル場を考えることにより、リー代数をリー群と結びつけることにより、関連づけられる。実行列群(matrix group)の場合、リー代数 \mathfrak{g} は、全ての実数 t に対し exp(tX) ∈ G となるような行列 X から構成される。ここに exp は行列指数関数である。

リー代数の例を挙げる。

  • \operatorname{GL}_n(\mathbb{C}) のリー代数 \mathfrak{gl}_n(\mathbb{C}) は、複素 n×n 行列の代数である。
  • \operatorname{SL}_n(\mathbb{C}) のリー代数 \mathfrak{sl}_n(\mathbb{C}) は、トレースが 0 である複素 n×n 行列の代数である。
  • \operatorname{O}(n)\operatorname{SO}(n) の両方のリー代数 \mathfrak{o}(n) は、実反対称 n×n 行列の代数である。(交代群の無限小回転を参照)
  • \operatorname{U}(n) のリー代数 \mathfrak{u}(n) は、複素交代エルミート n×n 行列であるが、他方、\operatorname{SU}(n) のリー代数 \mathfrak{su}(n) はトレースが 0 の複素交代エルミート n×n 行列である。

上記の例では、リーブラケット [X,Y](リー代数の行列 X と Y に対して)は [X,Y] = XY - YX として定義する。

生成子 Ta の集合が与えられると、構造定数 f abc は、生成子のペアのリーブラケットを集合からの生成子の線型結合 [Ta, Tb] = f abc Tc で表す。 構造定数はリー代数の元のリーブラケットを決定するので、結果としてリー群の群構造をほぼ完全に決定する。 単位元の近くのリー群の構造は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式英語版(Baker–Campbell–Hausdorff formula)により明確に表される。 ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式は、リー代数の元 X, Y の拡大とそれらのリーブラケットであらわされ、互いにネストした元でも単一の成分 exp(tX) exp(tY) = exp(tX + tY + ½ t2 [X,Y] + O(t3)) となる。

リー群からリー代数への写像は関手的であり、リー群の準同型がリー代数の準同型にリフトすることを意味し、多くの性質がリフティングを満たす。 合成とは可換であり、リー群のリー部分群、核、商、余核をそれぞれリー代数の部分代数、核、商、余核へ写像する。

リー群をリー代数に写し、準同型をリー代数の微分へ写す関手 L は、完全関手である。しかし、カテゴリ同値英語版(equivalence of categories)ではない。異なるリー群でも同型のリー代数となる場合があるからである。(例えば、SO(3)SU(2)の例がある。)また、いかなるリー群も伴わない(無限次元の)リー代数が存在する。[7]

しかしながら、リー代数 \mathfrak{g} が有限次元のときは、\mathfrak{g} をリー代数としてもつ単連結なリー群を、そのリー代数へ付随させることができる。さらに詳しくは、リー代数の函手 L は、有限次元(実)リー代数からリー群への左随伴関手 Γ を持っていて、単純な連結リー群の部分カテゴリ全体を分解する[8] 。言い換えると、双函手である自然な同型が存在する。

 \mathrm{Hom}(\Gamma(\mathfrak{g}), H) \cong \mathrm{Hom}(\mathfrak{g},\mathrm{L}(H)).

随伴写像(adjunction) \mathfrak{g} \rightarrow \mathrm{L}(\Gamma(\mathfrak{g}))\Gamma(\mathfrak{g}) 上の恒等写像に対応する)は同型であり、他の随伴写像 \Gamma(\mathrm{L}(H)) \rightarrow H は、H の恒等元の成分の普遍被覆群から H への射影準同型である。このことから、直ちに、G が単連結であれば、リー代数の函手は、リー群の準同型 G → H とリー代数の準同型 L(G) → L(H) の間の全単射である。

上記の普遍被覆群は指数写像英語版(exponential map)によりリー代数の像として構成することができる。さらに、一般的には、リー代数は恒等元の近傍同相である。しかし、大域的には、リー群がコンパクトであれば指数写像は単射ではなく、リー群が連結でなく、単連結でない、もしくはコンパクトであれば、指数写像は全射でないかもしれない。

リー代数が無限次元であれば、結果はより微妙なものとなる。多くの例では、指数写像は局所同相ですらない(例えば、Diff(S1) では、exp の像の中にないような恒等元に、どのようにでも近くなる微分同相写像を見つけることができる)。さらに、無限次元リー代数には、どの群のリー代数でもないリー代数が存在する。

リー代数とリー群の間の対応はいくつかの方法が使われる。方法には、リー群の分類英語版(classification of Lie groups) や、リー群の表現論の方法がある。リー代数の全ての表現は、一意に対応する連結で単連結なリー群の表現にリフトされ、逆に、全てのリー群の表現は、そのリー群のリー代数の表現を誘導する。表現は 1 対 1 対応ではない。従って、リー代数の表現を理解することは、群の表現の問題に帰着される。

分類のためには、与えられたリー代数をもつ任意の連結リー群が離散部分群である中心を mod として、普遍被覆に同型であることを示すことができる。従って、リー群を分類することは、一度リー代数の分類ができると、単純に中心英語版 (center) である離散部分群を数える問題となる(半単純 (semisimple) な場合は、エリ・カルタンにより解かれている)。

カテゴリ論的な定義[編集]

カテゴリ論のことばを使うと、リー代数のカテゴリは、標数が 2 ではない体 k 上のベクトル空間のカテゴリ英語版(category of vector spaces)である Veck の中の対象 A と [., .]: A ⊗ A → A として定義される。ここに ⊗ は Veck の次のように定義されるモノイド積を表す。

  • [\cdot, \cdot] \circ (\mathrm{id} + \tau_{A,A}) = 0
  • [\cdot, \cdot] \circ ([\cdot, \cdot] \otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} + \sigma + \sigma^2) = 0

ここに、τ (a ⊗ b) := b ⊗ a であり、σ は循環置換英語版(cyclic permutation)プレイディング (id ⊗ τA,A) ° (τA,A ⊗ id) である。図式英語版(Diagrammatic Notation)にすると以下のようになる。

Liealgebra.png

関連項目[編集]

脚注[編集]

注釈[編集]

  1. ^ リー環」と「リー代数」は同義語であるが、本記事では「リー代数」という用語を用いる。
  2. ^ 交換子の反交換関係により、右イデアルと左イデアルは一致する (Humphreys 1972, p. 6)。
  3. ^ 実は、任意の非結合的な代数でもよい。

出典[編集]

  1. ^ Humphreys 1972, p. 1.
  2. ^ Jacobson 1962, p. 28.
  3. ^ Jacobson 1962, p. 18.
  4. ^ Jacobson 1962, Ch. VI The Theorem of Ado-Iwasawa.
  5. ^ Humphreys 1972, p. 2.
  6. ^ Humphreys 1972, p. 22.
  7. ^ Beltita 2005, pg. 75
  8. ^ 随伴写像の性質は、Hofman & Morris 2007, p. 130でより一般的な立場から議論されるが、直接的な結果は例えば Bourbaki 1989 p. 305 の Theorem 1 や p. 310 の Theorem 3。

参考文献[編集]