被覆空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索
YX の被覆空間、S1, S2, S3, … は U 上のシート

数学において、位相空間 C がもう一つの空間 X被覆空間(ひふくくうかん、英:covering space)であるとは、被覆写像(ひふくしゃぞう、英:covering map)と呼ばれる全射局所同相写像 p : CX によって X を被覆することである。 厳密な定義は以下に与える。 被覆空間は代数的位相幾何学で研究されるが、微分位相幾何学、位相群論、リーマン面論等様々な数学の分野で重要な応用を有する。

定義[編集]

X を位相空間とする。 X被覆空間とは、 位相空間 C および連続全射 p : CX の組であって、 すべての xX に対し、x の開近傍 U が存在し、 p−1(U) (p による U の逆像) が、共通部分を有しない C の開集合の和集合で表され、 その各開集合が p により U に同相に写像されるもののことである。

写像 p被覆写像、空間 X はしばしば被覆の底空間(ていくうかん、英:base)と言う。 底空間の任意の点 xC における逆像は、x 上のファイバーと呼ばれる離散空間である。

定義に表れた x の特別な開近傍 U 全体は、均一被覆近傍(きんいつひふくきんぼう、英:evenly-covered neighborhoods)と言う。 均一被覆近傍 UC における同相的複写は、U 上のシート(英:sheets)と言う。 一般に C は、X 上に浮いていて p が下向きに写像し、U 上のシートは、U の真上方向に水平に積み重なっていて、x 上のファイバーは、x の真上に垂直にある C の点である。

注意:多くの著者は、被覆写像の定義において、空間 XC に連結性の条件を課している。 特に、多くの著者は、双方の空間が弧状連結かつ局所弧状連結であることを要求している。 被覆空間の結果を学習する際、常に、著者の課する連結に関する前提について注意深く検討する必要がある。 また、著者によっては被覆写像が全射であることを要求しない。しかし、X が連結で C が空でなければ、実際には被覆写像の全射性は他の公理から従う。

具体例[編集]

R2 内の単位円 S1 を考える。 すると、

p(t) = (cos(t),sin(t))

により、写像 p : RS1 は被覆で、 S1 の各点は無限に頻繁に被覆される。

複素平面から原点を取り除いた単数群を考え、これを C× と書く。 すると、

p(z) = zn

により、写像 p : C×C× は被覆になる。すべてのファイバーは n この元からなる。

特徴[編集]

局所的特徴の共有[編集]

任意の被覆 p : CX は局所同相(つまり、すべての cC に対して、c を含む C のある開集合 AX のある開集合 B が存在し、pA への制限が、AB の同相写像になる)である。 これにより、CX は全ての局所的特徴を共有することとなる。 X 単連結ならば、大域的にも単連結であり、p は同相写像になる。

濃度の同一性[編集]

すべての xX に対し、x 上のファイバーは C の離散部分集合である。 X の任意の連結要素の上では、ファイバーの濃度は同一である(無限のこともあり得る)。任意のファイバーが 2 要素からなる場合、二重被覆(にじゅうひふく、英:double cover)と言う。

持ち上げ[編集]

p : CX が被覆で γ が X 内の経路(つまり、単位区間 [0,1] から X の中への連続写像)であり、cC が γ(0) の上の点(つまり、p(c) = γ(0))ならば、γ 上の C のある経路 ρ (つまり、p o ρ = γ)が一意に存在し、ρ(0) = c である。 ρ は、γ の持ち上げ(もちあげ、英:lift)と呼ぶ。 xyX の二つの点であって経路で結ばれている場合、この経路は、持ち上げの特徴を通じ、x 上のファイバーと y 上のファイバーの間の全単射を与える。

同値性[編集]

p1 : C1Xp2 : C2X が 2 つの被覆だとする。 (p1, C1) と (p2, C2) は、ある同相写像 p21 : C2C1 が存在し、p2 = p1op21 のとき、同値であると言う。 これは同値関係である。 被覆の同値類は、共軛類に対応する。 p21 が同相写像でなく被覆の場合には、 (p2, C2) は (p1, C1) を支配する(しはい-、英:dominate)と言う。ここに、p2 = p1op21 である。

多様体の被覆[編集]

被覆は局所同相であるので、n-次元位相多様体の被覆は n-次元多様体である。(被覆空間が第二可算であることは、多様体の基本群がいつも可算であるという事実より証明することができる。)しかし、n-次元多様体で覆われた空間は、非ハウスドルフ空間かもしれない。例えば、C を原点を取り去った平面とし、X を全ての点 (x, y)(2x, y/2) で同一視する。p : C → X が商写像とすると、f(x, y) = (2x, y/2) で生成される C への Z の作用は固有不連続英語版(properly discontinuous)であるので、被覆である。点 p(1, 0)p(0, 1) は X の中では切り離されるような近傍を持たない。

微分可能多様体の任意の被覆空間は、p (問題の被覆写像)を局所同相英語版(local diffeomorphism)、つまり、ランク英語版(rank)へ変えるような自然な微分構造を持っているかもしれない。

普遍被覆[編集]

連結な被覆空間が単連結のとき、普遍被覆(ふへんひふく、英:universal cover)という。 普遍被覆の名称は、以下の普遍性に由来する。 q : DXX の普遍被覆であって、p : CXX の任意の被覆かつ C が連結のとき、ある被覆写像 f : DC が存在し、pof = q である。 これは、「X の普遍被覆は、X の任意の連結な被覆を被覆する」と言うことができる。

写像 f は、以下の意味で一意的である。 xX を固定し、dD に対し q(d) = x で、 cC に対し p(c) = x だとすると、 被覆写像 f : DC であって、p o f = q かつ f(d) = c を満たすものが一意に存在する。

X が普遍被覆を有すれば、その普遍被覆は本質的に一意である。 q1 : D1Xq2 : D2XX の二つの普遍被覆だとすると、同相写像 f : D1D2 が存在し、q2 o f = q1 である。

空間 X は、弧状連結局所弧状連結の条件の下では、半局所単連結のときかつそのときに限り、普遍被覆を有する。 しかし、局所弧状連結でないが普遍被覆を有する位相空間が存在する。 X の普遍被覆は、X の経路のある空間から構成することができる。

上に示した RS1 の例は普遍被覆である。四元数と空間回転(en:quaternions and spatial rotation)に示されている四元数から三次元回転群への写像 S3 → SO(3) も、普遍被覆である。

X が何らかの追加的な構造を有する場合、その普遍被覆も普通は、その構造を引き継ぐ。

  • X多様体ならば、普遍被覆 D も多様体である。
  • Xリーマン面ならば、普遍被覆 D もリーマン面で、p は正則である。
  • X がローレンツ多様体(英:Lorentzian manifold)(つまり、符号数 (p,1) の計量を有する擬リーマン多様体)ならば、普遍被覆 D もローレンツ多様体である。p−1(U) を、共通部分を有しない開集合の和集合であって、個々の開集合が p により U と可微分同相なものだとする。X が時間的閉曲線を含むとき、X は時間的複連結(英:timelike multiply connected)であり(時間的閉曲線は、任意の点と時間的ホモトープでない、というのもどの点も因果的に上手く振舞えないからである)、その(可微分)普遍被覆は時間的単連結(英:timelike simply connected)である(時間的閉曲線を含まない)。
  • Xリー群ならば(上記二つの例と同様)、D もリー群であり、p はリー群の準同型である。この場合、普遍被覆は普遍被覆群とも呼ばれる。普遍被覆群は、表現論量子力学に重要な応用を有する。普遍被覆群 D の群表現は、元の(古典)群 X の射影表現だからである。

普遍被覆の概念は、解析関数論の解析接続の自然な領域として始めて登場した。

G-被覆[編集]

G を位相空間 X 上の離散群英語版(discrete group)の群作用とする。どのような条件のときに X から軌道 X/G への射影が被覆写像となるかとの問いは自然である。作用は不動点を持っているかもしれないので、これはいつの正しいとは限らない。例えば、(x, y) ↦ (y, x) というツイスト作用により、積 X × X 上への作用が、恒等元ではない位数 2 の巡回群が例である。このように X と X/G の基本群の間の関係の研究は、そうまっすぐには進めない。

しかしながら、群 G は X の基本グーポイド(groupoid)上へ作用し、グル―ポイド上への対応する群と対応する軌道を考えることで、最もうまく扱える。この理論は、以下の書籍 Topology and groupoids の第 11 章で定式化され、主要な結果は、普遍被覆を持つハウスドルフ空間 X 上の群 G の離散的作用に対し、軌道空間 X/G の基本グルーポイドは、X の基本グル―ポイドの軌道グルーポイド、つまり、群 G の作用によるグル―ポイドの商空間と同型ということである。これは計算を明確化し、例えば、空間の対称的な二乗積空間の基本群の計算に使われる。

被覆変換[編集]

被覆 p : C → X の被覆変換、もしくは、自己同型とは、1=p ∘ f = p であるような C 上の自己準同型写像 f : C → C のことを言う。被覆 p の被覆変換の全体は、写像の合成の下に群を形成し。被覆変換群(covering transformation group) Aut(p) と呼ばれる。被覆変換(covering transformations)はデック変換(deck transformation)とも呼ばれる。全ての被覆変換は、各々のファイバーの元を置き換える。このことは、各々のファイバー上で被覆変換の群作用を定義する。リフト(持ち上げ)の一意性により、f が恒等写像でなく C が弧状連結であれば、f は不動点を持たない。

ここで、p : C → X が被覆写像で、C が連結かつ局所弧状連結であるとする(従って、X もそのようになる)。各々のファイバーの上での Aut(p) の作用は、自由である。この作用があるファイバー上で推移的であれば、すべてのファイバー上で推移的であり、この場合を被覆は正規(regular)や正則(normal)、ガロア的と呼ばれる。全てのそのような正規な被覆は、主 G-バンドルであり、G = Aut(p) は離散位相群と考えられる。

全ての普遍被覆 p : D → X は正規であり、被覆変換群は基本群 π1(X) に同型である。

上記の p(z) = zn の例 p : C×C× は、正規被覆であり、被覆変換は 1の n-乗根による乗法であり、従って、被覆変換群は巡回群 Cn に同型である。

他の例として、上記の p(z) = zn! の例 p : C* → C* も正規被覆であり、変換群の階層を持っている。実際、Cx! は、1 ≤ x ≤ y ≤ n に対し Cy! の部分群である。

モノドロミー作用[編集]

再び、p : CX を被覆写像とし、C (と、従って X も)連結で局所弧状連結であるとする。x が X の点で c が x 上のファイバーに属し(つまり、p(c) = x)、γ : [0, 1] → Xγ(0) = γ(1) = x である経路とすると、この経路は出発点を c にもつ C の一意の経路へ持ち上げることができる。この持ち上げられた経路の終点は、c である必要はないが、x 上のファイバーの中に属す必要がある。この終点は基本群 π1(X, x) の中の γ のクラスにのみ依存することが判明している。この形で、x 上のファイバーに π1(X, x) の右からの群作用を得る。これはモノドロミー作用(monodromy action)として知られている。

ファイバー上には 2つの作用が存在し、x : Aut(p) は左側より作用し、π1(X, x) は右側より作用する。これらの 2つの作用は次の意味で整合性を持っている。Aut(p) の中の全ての f と p−1(x) の中の全ての c と、π1(X, x)の中の全ての γ に対して、 f\cdot(c\cdot\gamma) = (f\cdot c)\cdot\gamma となる。

p が普遍被覆であれば、Aut(p) は自然に π1(X, x)双対英語版(dual)群と同一視できるので、π1(X, x) の双対群の作用は、x 上のファイバー上への Aut(p) の作用に一致する。Aut(p) と π1(X, x) とは、この場合は自然に同型となる(群はいつも自然に g ↦ g−1) を通して、双対と同型となる)。

p が正規被覆であれば、Aut(p) は自然に π1(X, x) の商に同型である。

一般に、(適切な空間に対しては、) Aut(p) は、p*1(C, c)) 上で π1(X, x) の中で p*1(C, c))正規化英語版(normalizer)による商と、自然に同型となり、そこでは p(c) = x となる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • 鈴木 晋一 『曲面の線形トポロジー<上>、<下>』 槇書店、1986年ISBN 4837505570
  • Glen E. Bredon (1993). Topology and Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0387979263.